Ошибки косвенных измерений

Часто измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая, зависящая от нее некоторым образом. Например, при резании металлов часто непосредственно измеряются деформации, ЭДС, по которым судят о возникающих силах и температурах. При этом также необходимо оценить ошибку измерения.

При косвенных измерениях значение y измеряемой величины находят по некоторой формуле

y = ¦ (х₁, х₂, ... , х_m),

где x₁, x₂, ... x_m - средние арифметические измеряемые ( непосредственно) величины. Рассмотрим функцию общего вида

y = ¦ (х₁, х₂, ... , х_m)

где x₁, x₂, ... , x_m - независимые переменные, для определения которых производятся n прямых независимых измерений по каждой x_i.

Обозначим значения переменных через среднее значение и отклонения

y ± D y = ¦ (x₁ ± D x₁, x₂ ± D x₂, ... , x_m ± D x_m).

Эту функцию представим рядом Тейлора, ограничив его первыми членами ряда ( принимая D x_i < < x_i )

y ± D y = ¦ (х₁, х₂, ... , х_n) ± ,

где

- производная функции по x_i, взятая в точке x_i.

Учитывая, что y = ¦ (x₁, x₂, ... , x_m) получаем

D y = .

Чтобы учесть погрешности D x_i всех n опытов целесообразно использовать средние квадратические оценки ( D x_i )², так как D x_i = 0.

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения и разделим на n

.

Здесь суммы удвоенных произведений типа

согласно четвертому свойству случайных ошибок ( D x_i = 0 ).

Тогда в левой и правой частях имеем среднеквадратические погрешности функции и аргументов

S .

Пример. При тарировке динамометра было получено уравнение зависимости силы от отклонения l луча осциллографа вида P = 25 l. Точность измерения отклонения D l = 1 мм. Тогда

D P = .

В качестве меры точности лучше выступает не абсолютная, а относительная погрешность.

e .

Рассмотрим ее определение на примере. Пусть

y = cx_{1a ×} x_{2b ×} x_3g .

Тогда

;
;
.


= .

Аналогично можно определить относительную погрешность и при других зависимостях. Зная относительную погрешность, можно определить и абсолютное ее значение:

D y = y× e _y.