Понятие статистической гипотезы и статистического критерия

Статистической гипотезой называют любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Такие утверждения можно делать на основе теоретических соображений или статистических исследований других наблюдений. Например, при многократном измерении некоторой физической величины, точное значение Х которой не известно, но в процессе измерений оно меняется. На результат измерений влияют многие случайные факторы, поэтому результат i - го измерения можно записать в виде а_i = Х + e _i, где e _i - случайная погрешность измерения. Если e _i складывается из большого числа ошибок, каждая из которых не велика, то на основании центральной предельной теоремы можно предположить, что случайные величины а_i имеют нормальное распределение. Такое предположение является статистической гипотезой о виде распределения наблюдаемой случайной величины.

Если для исследуемого явления сформулирована та или иная гипотеза ( обычно ее называют основной или нулевой гипотезой и обозначают символом Н_о ), то задача состоит в том, чтобы сформулировать правило, которое позволяло бы по результатам наблюдений принять или отклонить эту гипотезу. Правило, согласно которому проверяемая гипотеза Н_о принимается или отвергается, называется статистическим критерием проверки гипотезы Н_о .

Наиболее распространены такие статистические гипотезы, как:

а) вида распределения;

б) однородности нескольких серий независимых результатов;

в) случайности результатов эксперимента и т.п.

Статистический критерий проверки гипотезы Н_о служит для определения возможного отклонения от основной гипотезы. Характер отклонений может быть различным. Если критерий ² улавливает² любые отклонения от Н_о, то такой критерий называют универсальным или критерием согласия. Существуют критерии, которые выявляют отклонения от заданного вида, это узко направленные критерии.

Выбор правила проверки гипотезы Н_о эквивалентен заданию критической области х₁, при попадании в которую переменной х гипотеза Н_о отвергается. Критерий, определяемый критической областью х₁ называют критерием х₁.

В процессе проверки гипотезы Н_о можно прийти к правильному решению или совершить ошибку первого рода - отклонить Н_о когда она верна, или ошибку второго рода - принять Н_о, когда она ложна. Иными словами, ошибка первого рода имеет место, если точка х попадает в критическую область х₁, в то время как верна нулевая гипотеза Н_о, а ошибка второго рода - когда х Î х_о, но гипотеза Н_о ложна.

Желательно провести проверку гипотезы так, чтобы свести к минимуму вероятности обоих ошибок. Однако при данном числе испытаний n в общем случае невозможно одновременно обе эти вероятности сделать как угодно малыми. Поэтому наиболее рационально выбирать критическую область следующим образом: при заданном числе испытаний n устанавливается граница для вероятности ошибки первого рода и при этом выбирается та критическая область х₁, для которой вероятность ошибки второго рода минимальна.