Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.




 

Опр. Линейным однородным ур-им n-го порядка с постоянными коэффициентами

называется ур-ие вида

, (4.5)

где а1, а2,…,аn – действительные числа.

 

Метод решения ур-ия (4.5) был предложен Эйлером. В соответствии с ним решение ур-ия ищется в виде . Подставляя эту ф-цию и ее производные в ур-ие (4.5) получим

.

Ф-ция будет решением ур-ия (4.5) только тогда, когда

( ) (4.6)

и когда k – корень алгебраического ур-ия (4.6).

Ур-ие (4.6) называется характеристическим ур-ием. Это алгебраическое ур-ие n-й степени, оно имеет n корней(считая и равные корни), среди которых могут быть и комплексные.

Рассмотрим основные возможные случаи.

 

Корни Частные решения Соответствующая часть общего решения
различные действительные корни k1, k2, …,kn.  
действительные корни, среди которых m равны между собой. k1= k2= …=km, km+1,…,kn  
простые комплексно-сопряженные корни. , все остальные корни являются действительными и различными
комплексно-сопряженные корни являются m-кратными. Если остальные n-2m корней являются действительным различными

Свойства решений линейного однородного уравнения

  1. Если функция y1 (x) является каким-либо частным решением уравнения (4.5), то функция Сy1 (x), где С – const, также является решением этого уравнения.
  2. Если функции y1 (x), y2 (x)…, yn (x) являются какими-либо частными решениями уравнения (4.5), то их линейная комбинация С1 y1 (x)+ С2 y2 (x)…+ Сn yn (x) также является решением этого уравнения.

Пример. Решить ур-ие .

Это линейное однородное ур-ие 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое ур-ие

Общее решение имеет вид .

Пример. Решить ур-ие .

Это линейное однородное ур-ие 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое ур-ие

.

Фундаментальная система решений .

Общее решение .

Пример. Решить ур-ие .

Это линейное однородное ур-ие 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое ур-ие

.

Фундаментальная система решений .

Общее решение .

Пример. Решить ур-ие .

Составляем характеристическое ур-ие

Фундаментальная система решений

Общее решение

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 63; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты