Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.

Нужно построить ЛОДУ n-ого порядка y(n)(t)+…+an(t)y(t) = 0. Пусть коэффициенты am(t) непрерывны на отрезке [a, b], m = 1,…,n. Тогда линейное однородное диф-ое ур-е однозначно определяется ФСР. Док-во: Пусть y1(t),…,yn(t) – ФСР ур-я. Положим, что существует другое ду n-ого порядка с непрерывными на [a, b] коэффициентами bm(t), m=1,…,n у которого та же ФСР. Покажем, что am(t) = bm(t), t Є [a, b]. Выпишем уравнения на a1(t),…,an(t), b1(t),…,bn(t) вычтем соответствующие и получим (a1(t)-b1(t))yk(n-1)(t)+…+(an(t)-bn(t))yk(t) = 0. Пусть существует такая точка t0, в которой a1(t0) ≠ b1(t0). В силу непрерывности коэффициентов – существует окрестность. Разделим на (a1(t) –b1(t)) и обозначим pm(t) = [am(t) – bm(t)]/[a1(t) – b1(t)] тогда yk(n-1)(t) + p2(t)yk(n-2)(t)+…+pn(t)yk(t) = 0, t Є [t0 – eps, t0 + eps], для k=1,…,n. Те получили y1(t),…,yn(t) независимые функции, являющиеся решениями ур-я (n-1)ого порядка, но они независимы, и их n. Противоречие. ЧТД. Т Пусть n раз непрерывно диф-мые на отрезке [a, b] функции y1(t),…,yn(t) таквы, что составленный на них определитель Вронского не равен 0 ни в одной точке отрезка [a, b]. Тогда существует линейное однородное диф ур-е n-ого порядка такое, что функции y1(t),…,yn(t) являются его ФСР. Док-во: Рассмотрим ур-е detB = 0. B = y1,…,yn(t), y(t)\....\y1(n)(t),…,yn(n)(t), y(n)(t). Для того, чтобы убедится что она ЛДУ n-ого порядка достаточно разложить определитель по последнему столбцу. Коэффициент при старшей производной – определитель Вронского, составленный из заданных функций, по условию т он отличен от 0. Поделив на него получим ЛОДУ искомого вида. Любое из исходных yk является решением, так как при подстановке получаем определитель с двумя одинаковыми столбцами. ЧТД. Формула Остроградского-Лиувилля. Используя представление ЛОДУ через определитель можно получить формулу для определителя Вронского. В процессе вывода используется правило диф-я функциональных определителей: пусть D(t) – определитель n-ого порядка, элементами которого являются функции, непрерывно диф-мые на отрезке [a, b]. Производная D’(t) равна сумме n определителей, каждый из которых получен из D путем замены одной из его строк на строку его производных. Продифференцируем диффур, все определители, кроме последнего уйдут (две строки совпадают). Пусть y1(t)…yn(t) – ФСР. Из Т единственности получим, что это ур-е однозначно задается своей ФСР. Значит поделив уравнение в виде определителя на определитель Вронского получим обычное ЛОДУ с этой ФСР. Тогда a1(t) = -д’(t)/д(t) è д(t) = д(t0) = exp{-$<t0, t>a1(u)du}, t Є [a, b] (формула остроградского-лиувилля). Следствие: если a1(t) = 0, t Є [a, b], то определитель Вронского постоянен на отрезке.

Билет 20. Общая теория однородных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема об эквивалентности линейной системы ОДУ матричному ОДУ. Свойства решения матричного ОДУ.

Рассмотрим на отрезке [a, b] нормальную систему ОДУ первого порядка в векторной форме с непрерывными на [a, b] действительными коэф aij(t) и непрерывными комплекснозначными fk(t): dy-(t)/dt = A(t)y-(t) + f-(t), t Є [a, b], где A = {aij}, f-(t) = {f1(t),…,fn(t)}. Система называется однородной, если f-(t) = 0 на [a, b] (0 – здесь вектор столбец). В противном случае система неоднородная. Лемма: Если y-(t) – решение ЛОСДУ, то ay-(t) тоже решение, для любого a Є C. Если y1-(t) и y2-(t) – два решения ЛОС, то их сумма – тоже её решение. Док-во: dy-(t)/dt = A(t)y-(t), то d{ay-(t)}/dt = aA(t)y-(t) для суммы тоже элементарная проверка. ЧТД. Следствие: любая линейная комбинация решений – решение. Рассмотрим ОСОДУ с непрерывными дейсйствительными коэффициентами dy-(t)/dt = A(t)y-(t), t Є [a, b]. Пусть имеются n вектор функций. Составим матрицу Y(t), столбцами которой являются данные вектор функции. Y(t) = (y-1(t),…,yn-(t)) = (y11(t)…y1n(t)/…/yn1(t)…ynn(t)) (10). Сопоставим системе ОСОДУ матричное однородное ДУ dY(t)/dt = A(t)Y(t), где производная равна матрице, состоящей из производных элементов исходных элементов. По определению решением подобного ур-я называется матричная функция вида (10), обращающая ур-е в тождество. Т Вектор-функции y1-(t),y2-(t),…,yn-(t) являются решениями однородной системы на [a, b] тогда и только тогда, когда составленная из этих функций Y(t) вида (10) является решением матричного ДУ. (почти очевидно). Т Пусть матричная функция Y(t) является решением матричного ур-я. Тогда: 1) для любого вектора констант c-(c1,…,cn)T, cj Є C вектор функция y-(t) = Y(t)c- удовлетворяет самой системе. 2) Для любой матрицы констант B (н на н) матричная функция X(t) = Y(t)B удовлетворяет матричному ур-ю. Док-во: почти очевидно.