Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Нормальное распределение при контроле качества объектов. Оценка центральных моментов по результатам наблюдений.




В зависимости от характера случайной величины законы ее распределения могут быть самыми различными. Если на исследуемую величину одновременно действует много независимых случайных факторов, она подчиняется нормальному закону распределения (закону Гаусса). Этот закон имеет фундаментальное значение. Функция нормального распределения имеет вид:

,где

и - математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно.

Нормальная плотность вероятности определяется выражением

На рисунке приведены графики нормальной плотности вероятностей

(кривая Гаусса)

Через точку x=a проходит ось симметрии кривой, поэтому у случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения, значения математического ожидания, моды и медианы совпадают, а значение асимметрии и эксцесса равны нулю.

Если в выражениях для F(x) и перейти к новой переменной, называемой нормированной случайной величиной , то будут получены выражения для нормированной функции нормального распределения F(z) и плотности вероятности нормированного нормального распределения . При этом = . Если случайная величина x распределена нормально со средним, равным а и дисперсией , равной , то нормированная случайная величина z также распределена нормально со средним, равным нулю и дисперсией, равной 1.

В этом случае вероятность нахождения нормально распределенной случайной величины Х в интервале определяется как

Функция Ф(z) называют функцией Лапласа. Геометрически она представляет собой площадь под кривой в промежутке от 0 до z. Значения этой функции приведены в таблицах. Очевидно, что ; ;

Для интервала соответствующую вероятность можно вычислить как . Пользуясь этим соотношением и таблицей, легко определить, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал составляет~0,68, в интервал -~0,95 ,в интервал -~0,997.

Аналогично легко вычислить вероятность попадания случайной величины в любой другой заданный интервал. Например, при выборочном контроле по результатам измерений легко вычислить долю деталей, размеры которых находятся в допуске. Для этого необходимо вычислить статистики данной выборки а и и определить значения Ф(z) для минимально и максимально допустимых размеров и для верхнего и нижнего отклонений. Оставшаяся часть деталей будет бракованной.

 

Нормальное распределение в большинстве случаев является хорошим приближением функций. Распределение многих статистик является нормальным или может быть получено из нормальных с помощью некоторых преобразований. Рассуждая философски, можно сказать, что нормальное распределение представляет собой одну из эмпирически проверенных истин относительно общей природы действительности и его положение может рассматриваться как один из фундаментальных законов природы. Точная форма нормального распределения (характерная "колоколообразная кривая") определяется только двумя параметрами: средним и стандартным отклонением.

Форму большинства непрерывных распределений в ряде случаев можно достаточно полно охарактеризовать первыми четырьмя моментами.

1 Математическое ожидание а (для генеральной совокупности) или среднее арифметическое значение ( для группы случайных величин).

Среднее - очень информативная мера "центрального положения" наблюдаемой переменной, особенно если сообщается ее доверительный интервал. Исследователю нужны такие статистики, которые позволяют сделать вывод относительно популяции в целом. Одной из таких статистик является среднее. Доверительный интервал для среднего представляет интервал значений вокруг оценки, где с данным уровнем доверия, находится "истинное" (неизвестное) среднее популяции. Например, если среднее выборки равно 23, а нижняя и верхняя границы доверительного интервала с уровнем p=.95 равны 19 и 27 соответственно, то можно заключить, что с вероятностью 95% интервал с границами 19 и 27 накрывает среднее популяции. Если вы установите больший уровень доверия, то интервал станет шире, поэтому возрастает вероятность, с которой он "накрывает" неизвестное среднее популяции, и наоборот. Хорошо известно, например, что чем "неопределенней" прогноз погоды (т.е. шире доверительный интервал), тем вероятнее он будет верным. Заметим, что ширина доверительного интервала зависит от объема или размера выборки, а также от разброса (изменчивости) данных. Увеличение размера выборки делает оценку среднего более надежной. Увеличение разброса наблюдаемых значений уменьшает надежность оценки. Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении нормальности наблюдаемых величин. Если это предположение не выполнено, то оценка может оказаться плохой, особенно для малых выборок. При увеличении объема выборки, скажем, до 100 или более, качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.

2 Дисперсия – характеристика рассеивания случайной величины Х около центра распределения.

Часто в качестве меры рассеивания случайной величины вместо дисперсии используют положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называется средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением.

3 Асимметрия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положительная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений. Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значений.

Если асимметрия (показывающая отклонение распределения от симметричного) существенно отличается от 0, то распределение несимметрично, в то время как нормальное распределение абсолютно симметрично. У симметричного распределения асимметрия равна 0. Асимметрия распределения с длинным правым хвостом положительна. Если распределение имеет длинный левый хвост, то его асимметрия отрицательна.

4 Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность.

Если эксцесс (показывающий "остроту пика" распределения) существенно отличен от 0, то распределение имеет или более закругленный пик, чем нормальное, или, напротив, имеет более острый пик (возможно, имеется несколько пиков). Обычно, если эксцесс положителен, то пик заострен, если отрицательный, то пик закруглен. Эксцесс нормального распределения равен 0.

Отличные от нуля показатели асимметрии и эксцесса указывают на отклонение рассматриваемого распределения от нормального.

Медиана- значение, которое разбивает выборку на две равные части. Половина наблюдений лежит ниже медианы, половина- выше;

Мода - наиболее часто встречающееся значение переменной;

распределения по сравнению с нормальным распределением..

Более точную информацию о форме распределения можно получить с помощью критериев нормальности (например, критерия Колмогорова-Смирнова). Однако ни один из критериев не может заменить визуальную проверку с помощью гистограммы (графика, показывающего частоту попаданий значений переменной в отдельные интервалы).

Гистограмма позволяет "на глаз" оценить нормальность эмпирического распределения. На гистограмму также накладывается кривая нормального распределения. Гистограмма позволяет качественно оценить различные характеристики распределения. Например, на ней можно увидеть, что распределение бимодально (имеет 2 пика). Это может быть вызвано, например, тем, что выборка неоднородна, возможно, извлечена из двух разных популяций, каждая из которых более или менее нормальна. В таких ситуациях, чтобы понять природу наблюдаемых переменных, можно попытаться найти качественный способ разделения выборки на две части.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 164; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты