Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


От тригонометрических функций




 

Символом R(x) будем обозначать рациональные функции от х. Запись R(sinx, cosx) обозначает, что функция рациональная относительно как синуса, так и косинуса.

Основная идея всех приведенных ниже подстановок состоит в том, что они сводят вычисление интеграла к интегралу от рациональных дробей.

Общий случай. Рассмотрим интеграл вида и покажем, что этот интеграл с помощью подстановки всегда сводится к интегралу от рациональной функции и, значит, такие интегралы выражаются в конечном виде через элементарные. Сделаем подстановку:

 

; ; ;

 

; .

Таким образом, sin x, cos x, dx выражаются рационально через t. А так как рациональная функция от рациональной есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл, найдем интеграл от рациональной функции:

.

 

Эту подстановку называют универсальной тригонометрической подстановкой.

 

П р и м е р 11. Найти интеграл .

 

Решение. , , .

 

.

 

Но универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому надо знать другие подстановки и приёмы, которые в некоторых частных случаях быстрее приводят к цели.

Частные случаи. 1. Если имеет место тождество

 

то для приведения интеграла к рациональному виду рекомендуется применять подстановку .

Тогда , , , .

 

В частности, указанное выше тождество выполняется, если функции и входят только в четных степенях, т. е. . Тогда после подстановки получим

 

.

Такую же подстановку применяют при вычислении интегралов вида

 

.

 

Замечание. Интеграл от сводится к интегралу , т. к. .

 

4. Интегралы вида , , легко вычисляются после применения известных формул тригонометрии

;

 

;

 

.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты