Корень уравнения, геометрический смысл, методы нахождения.

Корнем уравнения считается число, при котором уравнения превращается в нуль. Существуют аналитические и численные методы нахождения корней уравнения. Первые из них позволяют получить алгебраическое выражение для вычисления корня, что бывает невозможно для ряда уравнений, которые называются трансцендентными. Вторые позволяют находить сами корни для любых уравнений с заданной точностью, но они часто требуют большого объема вычислений. Развитие вычислительной техники позволило в настоящее время широко использовать последние методы.

В графическом представлении корень показан на рис.1. К данной задаче можно привести и нахождение точки пересечения двух уравнений, используя их разность, как функцию, корень которой надо найти.

Уравнения могут содержать несколько корней. В этом случае для их поиска надо выделить области, в каждой из которых находится только один корень. Чтобы понять этот процесс рассмотрим уравнение с двумя корнями (квадратное уравнение), график которого показан на рис.2. Как видно из графика корни, если они существуют у уравнения, лежат справа и лева от экстремума данной функции. Следовательно, надо найти экстремум и потом искать корни в двух интервалах – от -∞ до точки экстремума и от нее до ∞. Данный подход может быть распространен и на уравнения с большим количеством корней. Однако часть корней могут быть иррациональными числами (комплексными). Чтобы выполнить данную проверку надо сравнивать значения функции на концах отрезков, которые содержат корни – если эти числа имеют разные знаки, то корень существует.

Как это выглядит графически показано на примере кубического уравнения (может быть до 3-х корней) (рис.3). Как видно области первого и второго корня лежат выше нуля оси Х, таким образом, они просто отсутствуют среди рациональных чисел.

Возникает вопрос, как найти экстремум функции. Наиболее простой вариант этого решения – взять производную для уравнения по Х и найти корень полученной функции. Вычисление производных так же можно выполнить численным методом, рассмотренным в предыдущей работе.