Логарифмические неравенства, основные способы решения.

Неравенства вида log_ax>b (log_ax≥b) или log_ax<b (log_ax≤b), где a>0, a≠1, называются простейшими логарифмическиминеравенствами.

 Решение логарифмических неравенств основано на строгой монотонности логарифмической функции. Известно, что

o при основании, большем единицы, логарифмическая функция возрастает,

o при положительном основании, меньшем единицы, логарифмическая функция убывает.

 Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств

o при a>1 f(x)>0, f(x)>a^b;

o при 0<a<1 f(x)>0, f(x)<a^b.

 Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств

o при a>1 f(x)>0, f(x)<a^b;

o при 0<a<1 f(x)>0, f(x)>a^b.

Пример. Решить неравенство log₈(x²-4x+3)<1.

Решение. Так как основание логарифма больше единицы (а=8), то данное неравенство эквивалентно системе:

или .

Каждое неравенство решим методом интервалов.

х²-4x+3=0 при х₁=1, х₂=3. Определяя знаки, получим:

х²-4x-5=0 при х₁=-1, х₂=5. Определяя знаки, получим

Совмещая промежутки, имеем:

Таким образом, .

Ответ: .

 Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств:

o при a>1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)>g(x);

o при 0<a<1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)<g(x).

 Неравенство вида

эквивалентно следующим системам неравенств

o при a>1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)<g(x);

o при 0<a<1 f(x)>0, g(x)>0, f(x)>g(x).

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Основание логарифмической функции меньше 1 (a=0,2). Поэтому, выписывая области определения выражений левой и правой частей неравенства и пользуясь свойством монотонности, получим равносильную систему:

.

Решение неравенств второй степени методом интервалов:

Совмещая промежутки, получим:

Ответ: (-2;1).

 Более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными используемым при решении логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить неравенство:

.

Решение. Переходя к основанию 2 в выражении, стоящем в правой части данного неравенства, получим:

Теперь перейдем к равносильной системе:

Решение встречающихся квадратичных неравенств провели методом интервалов:

Совмещая промежутки, получим .

Ответ: (0; 2).

 Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то, как правило, следует рассматривать два случая:

o когда основание больше 1

o когда основание положительно, но меньше 1.

 Неравенство с переменным основанием можно также решать, используя формулы перехода к новому, не содержащему неизвестное, основанию.