Упражнение 1.5.

Глава 3.

Тема. Введение в математический анализ.

Ответы и решения .

Упражнение 1.2.

Упражнение 1.3.

Упражнение 1.4

Упражнение 1.5.

Упражнение 1.6.При решении данного упражнения используем определение равенства функций ( см.определение 1.5). для примера решим пункты .

с) Данные функции имеют различные области определения.

У функции D= . У функции

D= ; По определению 1.5 эти функции не равны.

Области определения у данных функции одинаковы . Проверим, будут ли одинаковы значения при равных аргументах. В данном случае используем правило.

Если , то справедливо равенство . Так как ,

то для любого .

Следовательно, данные функции равны.

Упражнение 1.7.При решении данного упражнения используем определения чётности и нечётности функций (определения 1.13, 1.14).Рассмотрим для примера пункты 4) и 7).

4) Область определения данной функции симметрична относительно начала координат

. Исследуем функцию на чётность . Вывод данная функция

нечётная.

7) Область определения данной функции несимметрична относительно начала координат

. Следовательно, функция не является чётной или нечётной. Такие функции

называются функциями общего вида.

Упражнение 1.8.При решении данного упражнения используем определения функций, ограниченных, ограниченных сверху, ограниченных снизу (определение 1.6).

Рассмотрим для примера, пункты 5) и 13).

5) .Докажем, что неограниченна сверху. Действительно, возьмём

любое большое число . Тогда найдётся значение аргумента , что значение функции будет больше . Берём .

Вывод. Функция ограничена снизу и неограниченна сверху.

13) Запишем функцию в более удобном виде . Так как значения

положительны, то . Кроме того принимает

наименьшее значение при равное 1. Следовательно, обратная величина принимает наибольшее значение равное 1. Вывод. Данная функция есть ограниченная функция и

.

Упражнение 1.9. При решении данного упражнения используйте определения возрастающих и убывающих функций ( см. определение 1.11,1.12).

Упражнение 1.10. При решении данного упражнения используем определение периодической функции (определение 1.15).Рассмотрим для примера пункты 3) и 6).

3)

Мы доказали , а по определению 1.15, это значит, что функция имеет период .

6)При решении данного пункта используем правило, если число Т является периодом функции, то

числа кратные Т ,например 2Т, также являются периодами этой функции.

Мы доказали , а по определению 1.15, это значит, что функция имеет период .

Упражнение1.11. Выделить полный квадрат у квадратного трёхчлена это значит записать его в виде .

Ответы. 1) .Следовательно,

Построение эскизов графиков элементарными методами.

Ответы и решения.

Упражнение 2.1.

Построим эскизы графиков из пунктов 3),6) упражнения 2.1. Остальные рекомендуем построить читателю. При построении рекомендуем следовать правилам 1-5.

Решение пункта 1).

1 шаг. Переходим от эскиза графика (рис.1) к эскизу графика (рис.2);

2 шаг. Переходим от эскиза графика (рис.2) к эскизу графика (рис.3);

3 шаг. Переходим от эскиза графика (рис.3) к эскизу графика (рис.4);

рис.1 рис.2

рис.3 рис.4

На рис.5 изображены графики функций и .

рис.5

Ответ 2)

Ответ 3).

Ответ 4).

Ответ 5).

Решение пункта 6).

1 шаг. Переходим от эскиза графика (рис.6) к эскизу графика (рис.7) . Для этого первый график сдвигаем вправо вдоль оси ОХ на единицу.

2 шаг. Переходим от эскиза графика (рис.7) к эскизу графика (рис.8);

3 шаг. Переходим от эскиза графика (рис.8) к эскизу графика (рис.9);

рис.6 рис.7

рис.8 рис.9

На рис.10 изображены графики функций и

рис.10