Простые текстовые задачи на умножение и деление и обучение их решению

К простым текстовым задачам на умножение и деление относятся: задачи, раскрывающие смысл действия умножения и деления, задачи на нахождение неизвестного множителя, делимого, делителя, задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, на кратное сравнение.

Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения) вводятся во II классе при раскрытии конкретного смысла действия умножения.

Подготовительная работа к введению этих задач начинается в I классе при изучении сложения и вычитания. Она сводится к решению задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых путем оперирования предметами, о которых говорится в задаче, и выполнения действия сложения.

Сначала предлагаются упражнения вида: «Положите по 2 кружка 3 раза. Сколько всего кружков вы положили?» Дети раскладывают на партах по 2 кружка 3 раза и находят число всех кружков действием сложения: 2 + 2+2=6. Далее устанавливают, что слагаемые этой суммы одинаковые и что их 3.

Аналогичным образом рассматриваются сюжетные задачи, например: «Мама положила пирожки на 4 тарелки, по 3 пирожка на каждую. Сколько всего пирожков на этих тарелках?» При решении подобных задач надо разъяснять первоклассникам, что значит выражение «на каждую» (на первую тарелку положили 3 пирожка, на вторую —3 пирожка, на третью —3 пирожка и на четвертую—3 пирожка). В первом классе такие задачи решаются сложением: 3+3+3+3=12 (п.).

Полезно в целях подготовки включать упражнения на составление задач по их решению. Так, по решению 5+5+5=15 дети могут составить различные задачи, например: «У мальчика было 3 монеты по 5 коп. Сколько денег было у мальчика?»

Во II классе при ознакомлении с решением задач на нахождение произведения учащиеся должны усвоить, что если при решении задачи получаем сумму одинаковых слагаемых, то задачу можно решить умножением, должны усвоить новую запись и понимать, что обозначает каждое число в этой записи.

Например, предлагается задача: «4 ученика сделали по 2 кубика каждый. Сколько всего кубиков сделали ученики?» Задача иллюстрируется: выставляется 4 раза по 2 кубика. Дети под руководством учителя рассуждают: «Здесь по 2 кубика взяли 4 раза. Чтобы узнать, сколько всего кубиков, надо к 2 прибавить 2, еще прибавить 2 и еще прибавить 2, получится 8; в сумме, одинаковые слагаемые, их 4, значит, задачу можно решить умножением: по 2 взять 4 раза, или 2 умножить на 4, получится 8».

Запись: 2+2+2 + 2=8

2 • 4=8.

Ответ: 8 кубиков.

Надо дольше пользоваться такой двойной записью решения, чтобы дети лучше усвоили смысл каждого компонента умножения в записи решения задачи.

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение произведения ученики должны постепенно перейти от выполнения сложения и умножения к выполнению сразу действия умножения. Сначала им предлагается про себя объяснить решение сложением, а вслух назвать или записать решение умножением.

В результате такой работы все ученики постепенно научатся выбирать сразу действие умножения, минуя сложение.

Во II классе вводится деление. Конкретный смысл этого арифметического действия раскрывается при решении задач на деление по содержанию и на равные части. Сначала вводятся задачи на деление по содержанию, а затем на деление на равные части. Это обусловлено тем, что практически легче выполнять операции над множествами при решении задач на деление по содержанию, чем при решении задач на деление на равные части; кроме того, операции, выполняемые при решении задач на деление на равные части, как будет показано дальше, включают в себя операции, выполняемые при решении задач на деление по содержанию.

Подготовительная работа к решению задач на деление по содержанию имеет целью обогатить опыт детей в практическом оперировании множествами. Уже в I классе целесообразно выполнять устно, т. е. без записи действия, такие упражнения:

а)Возьмите 8 кружков и разложите их по 2. Сколько раз по 2 кружка получилось?

б)Учительница раздала ученикам 12 тетрадей, по 3 тетради каждому. Сколько учеников получили тетради?

Дети, пользуясь наглядными пособиями, выполняют соответствующие операции и находят результат, сосчитав, сколько раз получилось по 2 кружка или сколько учеников получили тетради. При этом надо обратить внимание, что дети получили тетрадей поровну.

Ознакомление учащихся с решением задач на деление по содержанию предусматривается во II классе. Например, предлагается задача: «12 морковок связали в пучки, по 4 морковки в каждом. Сколько пучков получилось?» На наборном полотне один из учащихся раскладывает 12 морковок по 4 морковка, а остальные выполняют на партах то же с помощью любых предметов (палочек, кружков и т. п.).

Сколько раз по4 морковки получилось? (3 раза.) Вы разложили 12 морковок по 4 морковки (поровну) и получили 3 раза по 4 морковки, значит, получится 3 пучка. Если в задаче известно, что какие-то предметы разложили поровну, например по 4, то, чтобы узнать, сколько раз получится по 4, надо выполнить действие деления. Решение задачи записывается так:

12:4 = 3 (п.)

Ответ: 3 пучка.

Читают запись так: 12 разделить на 4, получится 3.

Таким образом, на этом этапе, как и при решении других задач этой группы, ученики должны каждый раз объяснять, как они перешли от операций над реальными предметами к арифметическим действиям.

При закреплении умения решать задачи на деление по содержанию учащиеся постепенно переходят к выбору арифметического действия по представлению, не прибегая к наглядным пособиям, а результат деления находят, пользуясь таблицей.

Подготовкой к решению задач на деление на равные части будет практическое выполнение,начиная с I класса, упражнений вида:

а)Разложите 6 кружков в 2 ряда поровну. Сколько кружков в каждом ряду?

б) Юра нашел 12 желудей и разложил их в 4 коробки поровну.Сколько желудей было в каждой коробке?

Сначала работой руководит учитель.

Сколько надо взять кружков», чтобы положить в каждый ряд по одному кружку? Да столько, сколько рядов. Возьмите 2 кружка и положите в каждый ряд по одному. Возьмите еще столько, чтобы положить в каждый ряд по одному, и разложите их. Все ли кружки разложили? Возьмите еще столько кружков, чтобы в каждый ряд положить по одному, и разложите их. Все ли кружки разложили? По сколько кружков в каждом ряду? Вы 6 кружков разделили на 2 равные части и получили по 3 кружки в каждой части.

При таком оперировании предметами явно выступает связь между задачами на деление на равные части и по содержанию;

В I классе подобные учащиеся выполняют практически, а ответ на вопрос задачи находят путем счета предметов в каждой части. При этом дети указывают, что в каждой части предметов поровну.

Во II классе вводитсярешение задач на деление на равные части. Сначала решение выполняется путем практического оперирования предметами, после чего записывается решение. Например, предлагается задача: «Мама раздала 6 груш 3 де­тям поровну. Сколько груш получил каждый из детей?»

Возьмите 6 кружков, пуст» это будет 6 груш. Их надо раздать поровну 3 ученикам. Как это сделать? (Беру столько груш, чтобы каждому дать по одной» т. е. 3 груши», и даю по одной, беру еще 3 груши и даю по одной»;, каждый, получил по 2 груши, поровну.) Здесь раздали 6 груш детям, поровну; чтобы узнать, сколько груш получил каждый из детей, надо 6 разделить на 3;

Решение записывается так: 6-3=2 (гр.)

Ответ: 2 груши.

Решая далее задачи на деление на равные части, дети также выполняют действия с предметами и ведут соответствующие рассуждения под руководством учителя, формулируя связь между операцией с реальными предметами и арифметическим действием (если разложили, раздали и т. п. какие-то предметы поровну, то, чтобы узнать, сколько предметов в каждой из равных частей, надо выполнить действие деления). Результат деления на этом этапе находят путем счета предметов.

Закрепление умения решать задачи на деление на равные части ведется так же, как закрепление умения решать задачи на деление по содержанию.

Решая задачи на деление по содержанию и на равные части, ученики хорошо усваивают связь: если предметы раздавали, раскладывали и т. п. поровну, то задача решается действием деления. Однако при этом часть детей не осознает, что нашли, выполнив деление, вследствие чего допускаются ошибки в ответе на вопрос задачи. Например, решив задачу: «У школы поселились 10 скворцов, по 2 скворца в каждом скворечнике. Сколько скворечников заняли скворцы?»—ученики пишут;

10:2=5 (с.) Ответ: 5 скворцов.

Чтобы предупредить такие ошибки, надо побуждать детей вести рассуждение про себя, пользуясь «Памяткой», а также возвращать тех, кто допускает такие ошибки, к оперированию предметами. Вместе с тем надо чаще включать в перемежении задачи на деление по содержанию и на равные части.

Задачи на нахождение неизвестного множителя, делимого и делителя предлагаются только с числами. Решение сводится к составлению уравнения и решению его по правилу.

Например, предлагается задача: «Какое число надо умножить на 7, чтобы подучить 42?» Ученик рассуждает: «Обозначу неизвестное число буквой, например буквой x, и составлю уравнение x-7=42. Здесь неизвестен множитель. Чтобы его найти, надо произведение разделить на известный множитель: x=42:7,x=6. Проверю: если 6 умножить на 7» получится 42, значит, не­известное число нашли правильное.

Решение задач на увеличение числа в несколько раз, выраженных в прямой форме, опирается на хорошее понимание конкретного смысла действия умножения и смыс­ла выражения «больше в ...». Следовательно, подготовительная работа и должна быть направлена на изучение этих вопросов. Для раскрытия смысла выражения «больше в...» целесообразно выполнить ряд упражнений, подобных следующим:

1)Положите слева 4 кружка, а справа 2 раза по 4 кружка. В таком случае говорят, что справа кружков в 2 раза больше, чем слева, потому что там 2 раза по стольку кружков сколько их слева; слева в 2 раза меньше, чем справа,— так один раз 4 кружка.

2)Положите слева 2 квадрата, а справа 3 раза по 2 квадрата. Что можно сказать о числе квадратов справа: их больше или меньше, чем слева? (Их в 3 раза больше, чем слева, а слева в 3раза меньше, чем справа.)

После выполнения нескольких подобных упражнений можно ввести решение задач.

Положите в один ряд 5 квадратов, а в другой в 2 раза больше. Как вы это сделаете? (Положим 2 раза по 5 квадратов.) Сколько всего квадратов во втором ряду? (10.) Как узнали? (5 умножили на 2.)

Теперь можно рассмотреть задачи с конкретным содержанием, например: «У Вовы было 2 простых карандаша, а цветных в 3 раза больше. Сколько цветных карандашей было у Вовы?» Выясняется, что значит «в 3 раза больше», затем задача иллюстрируется и выполняется решение. Выбор арифметического действия дети объясняют так: цветных карандашей было в 3 раза больше, чем простых, значит, их было 3 раза по 2, надо 2 умножить на 3.

После решения надо спросить: «Что можно сказать о числе простых карандашей — их больше или меньше, чем цветных, и во сколько раз?» Такие вопросы помогут детям осмыслить суть выражения «меньше в ...».

В результате многократного решения таких задач дети усвоят, что увеличение числа в несколько раз выполняется действием умножения. При этом объяснение выбора арифметического действия они дают короче: чтобы получить в 3 раза больше, надо ... умножить на 3.

Решение задач на увеличение числа в несколько раз надо перемежать с решением задач на увеличение числа на несколько единиц, чтобы предупредить их смешение.

Задачи на уменьшение числа в несколько раз, выраженные в прямой форме, , вводятся после того, как дети приобретут умение решать задачи на деление на равные части, усвоят двоякий смысл отношения: если первое число больше второго в несколько раз, то второе меньше первого во столько же раз. Это соотношение дети должны усвоить в процессе работы над задачами на увеличение числа в несколько раз.

Ознакомить с решением этих задач можно примерно так:

Положите в ряд 6 кружков. В другой ряд надо положить в 3 paза меньше кружков. Если во втором ряду будет в 3 раза меньше, то что можно сказать о числе кружков в первом ряду? (Их будет в 3 раза больше.) Значит, в первом ряду З раза по стольку, сколько должно быть во втором ряду. Как же узнать, сколько кружков должно быть во втором ряду? (Надо 6 разделить на 3, получится 2.) Выполните это с помощью кружков. (Выполняют.) В каждой части получилось по 2. Во втором ряду должно быть 2 кружка, положите их.

Позднее объяснение становится короче: чтобы получить в 3 раза меньше, надо ... разделить на 3.

Далее можно включать задачи с конкретным содержанием, перемежая их с задачами на уменьшение числа на несколько единиц.

Подготовкой к решению задач на кратное сравнение должно быть хорошее понимание двоякого смысла кратного отношения и сформированное умение решать зада­чи на деление по содержанию.

Первые задачи решаются путем непосредственного оперирования предметами. Например, детям предлагается положить в один ряд 8 треугольников, а в другой 2 треугольника и узнать, во сколько раз больше треугольников в первом ряду, чем во втором. При выполнении задания дети рассуждают так: «Узнаем, сколько раз по 2 треугольника в первом ряду, для этого разделим 8 треугольников по 2, получится 4 раза по 2, значит, в первом ряду в 4 раза больше, чем во втором, а во втором в 4 раза меньше, чем в первом». После выполнения ряда подобных упражнений дети подводятся к выводу: чтобы узнать, во сколько раз одно из данных чисел больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее. В дальнейшем при решении задач на кратное сравнение дети опираются на этот вывод. Как и ранее, задачи берутся с различным содержанием, при этом задачи на кратное сравнение включаются в перемежении с задачами на разностное сравнение.

Решение задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, выраженных в косвенной форме, основывается на хорошем знании двоякого смысла отношения и умении решать задачи этих видов, выраженные в прямой форме.

При ознакомлении с решением задач этого вида дети каждый раз выполняют соответствующую операцию с конкретными предметами, связывая ее с арифметическим действием. Разложите квадраты в два ряда так, чтобы в верхнем ряду было 4 квадрата, их в 2 раза меньше, чем в нижнем. Сколько квадратов в нижнем ряду? Как узнали? Почему умножали, ведь в задаче сказано «в 2 раза меньше»?Далее, используя ту же методику, что и при решении задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, вво­дятся задачи с конкретным содержанием.

Эти задачи также предлагаются в перемежении с задачами на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц.

Методика работы по закреплению умения решать задачи, связанные с понятием кратного отношения, аналогична методике работы по закреплению умения решать задачи, связанные с разностью. Однако здесь добавляется еще одна линия работы по предупреждению ошибок, вызванных смешением аналогичных задач, связанных с понятием разности и кратного отношения. Например, задачи на увеличение числа на несколько единиц отдельные ученики решают умножением, а на увеличение в несколько раз —сложением. Чтобы предупредить появление таких ошибок, следует проводить сравнение самых аналогичных задач, а также их решений, выявляя существенное разли­чие (в первой задаче требовалось увеличить число на несколько единиц, а во второй — в несколько раз; первая задача решается сложением, а вторая — умножением).