Сплайны. Интерполяция при помощи сплайнов.

Сплайн – спец образом построена гладкая кусочно-многочленная ф-ия.

Пусть отр [a,b] разбит точками а=Х0<Х1..<Xn=b на n частичных отрезков [X(i-1),Xi]

Сплайном степени m называется функция S_m(X) облад след св-ми:

1)Функция S_m(X) непрерывна на отр [а,Ь] вместе со всеми своими производными S'm(X), S"_m(X),…до некоторого порядка р;

2)На каждом частичном отр [X(i-1),Xi] ф-ия S_m(X) совпадает с некоторым алгебр многочленом Рmi(х) степени m.

Макс по всем частичным отр степень многочленов наз степеньюсплайна.

Разность (m-p) между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отр [а,Ь] производной наз дефектом сплайна.

Лин сплайн – сост из полиномов первой степени, т.е из отр прямых линий.

Куб сплайн – на каждом из частичных отр совпадают с куб многочленом. S3(X)=ai+bi(X-X(i-1))+ci(X-X(i-1))^2+di(X-X(i-1))^3

13.Числ методы дифф ф-ий: постановка задачи, простейшие формулы числ дифф.

Допустим, что в некоторой т Х для ф-ии f(x) сущ производная f '{x}=lim (f(x+Δx)-f(x))/Δx которую вычисл либо не удается, либо слишком сложно. Тогда положим f '(x)=((f(x+Δx)-f(x))/Δx)

Простейшие ф-лы числ дифф: пусть xi=x0+i*h, i=0,±1..; h>0 шаг дифф. Обозначим fi=f([i), f’i=f’(xi). Допустим, что fєC2[x0,x1], тога сущ такая точка ξ, что f’0(x)=(f1-f0)/h-h*(f''(ξ)/2, где x0<ξ<x1. Если fєC3[x_-1,x₁], тогда сущ такая т ξ, что f'0(x)=(f1-f(-1))/2*h-f'''(ξ)*h^2/6, где x_-1<ξ<x₁. При условии fєC4[x_-1,x₁], имеем f’’₀(x)=(f_-1-2*f0+f1)/h^2 – f⁽⁴⁾(ξ)*h^2/12, где x_-1<ξ<x₁. Эти ф-лы можно получить из разложения в ряд Тейлора.

Применение интерпол многочлена Лагранжа для решения задачи числ дифф. Проблема выбора оптим шага дифф.

Универс способ постр формул числ дифф состоит в том, что по значению ф-ии f(X) в некоторых узлах X0,X1..Xn строят интерполяц многочлен Ln(X) и приближ полагают: f^(m)(X)≈Ln^(m)(X), 0≤m≤n. Например m=1, n=2, т.е вводяться три узла: f’0=(-3f0+4f1-f2)/2h +f’’’(ξ)*h/3; f’1=(f2-f0)/2h –f’’’(ξ)*h^2/6; f’2=(f0+4f1-3f2)/2h +f’’’(ξ)*h^2/3. А при m=2, n=2: f’’0=(f0-2f1+f2)/h^2 +hf’’’(ξ); f’’1=(f0-2f1+f2)/h^2 –f⁽⁴⁾(ξ)*h^2/12; f’’2=(f0-2f1+3f2)/h^2 +h*f’’’(ξ)

Выбор оптим шага дифф при реш задачи числ дифф

В ф-ах числ дифф с постоянным шагом h знач ф-ии f делятся на величину h^m где m - порядок вычисл производной. => получаемый рез напрямую зависит от выбора вел-ны шага дифф h. Отсюда возникает задача выбора оптим шага при реш задачи числ дифф с целью получения наиболее точных рез-ов. Пусть абсол погр Δ(fi) для каждого знач ф-ии fi удовл неравенству Δ(f(хi)≤Δ, Δ - пред абсол погр. Требуется найти оптим шаг дифф (h) в ф-ах f'0(x)≈(f₁-f_-1)/2h; f''0(x)≈(f_-1-2f0+f1)/h^2. Если при выбранном для какой-либо из этих ф-л значении h отрезок [X_-1,X₁], где X_±1=X0±h не выходит за педелы окр. т Х0, в которой выполн соотв неравенство Δ(f(xi))≤Δ, то найденное знач h явл оптим и полная погр числ дифф оценивается вел-ми r*1min=(3/2)*(M3Δ²/3)^(1/3) и r*2min=2*(M4Δ/3)^(1/2). В противном случае h выбирается так, чтобы отр [X_-1,X1] не выходит из указанной окр точки Х0, а полная погр числ дифф оценивается вел-ми r*1(h)=(Δ+Δ)/2h+M3*h^2 /6 и r*2(h)=(Δ+2Δ+Δ)/h^2+M4*h^2 /12