Методы отыск числ реш нелин ур-ий и их классиф. Понятие скорости сход метода. Лин и сверхлин сход.

Наход такие два знач аргум ф-ии F(X), для кот знач ф-ии имеют противополож знаки. Т.е. опред такие гран интер поиска корня (А и В), для кот справедл нерав: F(A)>0 и F (В)<0 Этап уточнения приближ знач корня начинают с выбора нач приближ. В кач-ве нач приближ для нахожд корня можно взять одну из границ (а или Ь) или х⁽⁰⁾=(а+b)/2 - серед отр [а. Ь]. Численный метод, в кот производ последов, шаг за шагом, уточнение первонач грубого, приближ, наз итерационным. Итерационный метод назодношаговым, если для вычисл очередного приближ Х⁽ⁿ⁾ исп только одно пред приближ Х^(n-1) и к-шаговым, если для вычисл Х^(n-1) исп к пред приближ X(n-k+1), X(n-k+2),.., X(n). Для постр итерац последов одношаг методом требуется задание только одного нач приближ Х(0), в то время как при исп к-шагового метода - k нач приближ X(0),X(1),X(2),X(k-1). Если при послед итерациях получаютсязнач X(0),Х(l),X(2)..Х(n), кот станов все ближе к истин знач корня, то говорят, что метод сходится. Метод сходится со скоростью геом прогрес, знамен кот q<l. если для всех n справед след оценка: |X^(n)-X|≤C0q^n

Пусть одношаг итерац метод обладает след св-ом: сущ σ-окрестность корня X такая, что если приближ Х(n) принадлеж этой окр, то справедлива оценка: |X^(n+1)-X|≤C^p|X-X^(n)|, где С>0 и р≥1-постоянные. р- порядок сход метода. Если р=1 и С<1, то говорят, что метод облад лин скоростью сход в указ σ-окр корня. Если р>1, то принято говорить о сверхлин скорости сход. При р=2 скорость сход наз квадрат, при р=3-куб. При наличии оценки у к-шаг метода (к>1) число р также наз порядком сход. ВАЖНО: •Выч погр огран точность, с которой может быть найден корень. •Любая процедура уменьш интер локализ корня, в конце концов, приведёт к такому интер, наз интер неопред корня, что любое число из этого интер может рассматриваться как корень уравн.

Методы отыскания числ реш нелин ур-ий. Метод бисекции.

Алг вычисл корны методомполов дел:

1.Задать гран исх промеж поиска корня [α,β], ф-ию f знач пред абсол погр вычисл корня ε>0, выч знач f(a). 2.Вычисл знач с=0,5(α+β). 3.Если (β-α)<2ε, то положить знач искомого корня х≈с и завершить процесс поиска. 4.Вычисл знач f(c). 5.Если f(α)*f(c)<0, то полож β:=с и перейти к п.2, иначе полож α:=c, f(α):=f(c) и перейти к п.2.

Осн идея метода сост: для нахожд корня, принадлеж отр [α,β], делим отр пополам, т.е выбир нач приближ X^(0)=(α^(0)+β^(0))/2

Если f( X⁽⁰⁾)=0, то Х⁽⁰⁾ явл корнем ур. Если f(X⁽⁰⁾)≠0, то выбир тот из отр [α⁽⁰⁾,X⁽⁰⁾] или [Х⁽⁰⁾,β⁽⁰⁾], на концах кот ф-ия f(X) имеет противоположные знаки. Новый отр будем обознач [α⁽¹⁾,β⁽¹⁾]. Неогран продолж итерацпроцесса дает последов отр: [α⁽¹⁾,β⁽¹⁾], [α⁽²⁾,β⁽²⁾], [α⁽ⁿ⁾,β⁽ⁿ⁾] содерж искомый корень. Середина n-го отрезка – точка X^(n)=(α⁽ⁿ⁾+β⁽ⁿ⁾)/2 дает приближ к корню х имеющее оценку погр |X⁽ⁿ⁾-X|≤(β-α)/2^(n+1). Сход медленно со скор геом прогрессии q=0,5. Критерием оконч итерац процесса явл выполн нерав β⁽ⁿ⁾-α⁽ⁿ⁾<2ε