Теорема об изменении количества движения СМТ

Второй основной закон динамики для n-й МТ, входящей в СМТ, с учетом классификации сил, действующих на нее, можно записать в форме:

(n=1, 2, ..., n). (1)

Просуммировав эти выражения и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим:

(2)

Используем формулу для главного вектора сил и учтем свойство внутренних сил:

, , (3)

где – главный вектор всех внешних сил, – главный вектор всех внутренних сил.

Количеством движения СМТ называется геометрическая сумма количеств движений МТ, входящих в СМТ:

. (4)

Подставляя выражение (3) и (4) в соотношение (2), получим теорему об изменении количества движения СМТ в дифференциальной форме:

(5)

Теорема: Производная по времени от количества движения СМТравна главному вектору внешних сил, действующихна СМТ.

Проектируя соотношение (5) на оси декартовой системы координат, получим:

, , . (6)

Из формулы (6) следует, что производная по времени от проекции количества движения СМТ на какую-либо ось декартовой системы координат равна сумме проекций на эту же ось приложенных к СМТ внешних сил.

Умножим обе части соотношения (5) на dt:

.

Проинтегрировав это выражение, считая, что в начальный момент времени количество движения СМТ было равно , получим теорему об изменении количества движения СМТ в конечной форме:

. (7)

Здесь , – скорость движения n-й МТ в начальный момент времени, а – импульс главного вектора внешних сил или сумма импульсов внешних сил, действующих на СМТ за промежуток времени t:

. (8)

Теорема: Изменение количества движения СМТ за конечный промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на СМТ, за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси декартовой системы координат эта теорема в конечной форме имеет вид:

,

, (9)

т.е изменение проекции количества движения СМТ за конечный промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил, действующих на СМТ, за тот же промежуток времени.

Следствия:

· Если , то из соотношения (5) следует, что

.

Если главный вектор внешних сил, действующих на СМТ, равен нулю, то количество движения СМТ постоянно по величинеи направлению и равняется количеству движения СМТ в начальный момент времени:

. (10)

· Если (для определенности выбрана ось х), то из первого соотношения (6) следует, что

Соотношение (10) представляет собой закон сохранения количества движения СМТ.