Нечеткие отношения

Отношение – подмножество декартового произведения некоторых множеств (задается перечислением кортежей элементов).

Нечеткое отношение – нечеткое множество, базовым множеством которого является декартово произведение некоторых множеств.

Рассмотрим два множества и . Тогда S – нечеткое бинарное отношение – определяется как .

Нечеткие отношения можно использовать для представления нечетких правил, которые обычно записываются в следующем виде:

R: F ® G,

где F(ÍU) и G(ÍV) – нечеткие множества (факты), заданные на базовых множествах U и V соответственно.

Тогда R представляется в виде следующего бинарного отношения:

.

Над нечеткими отношениями можно выполнять те же операции, что и над нечеткими множествами. Дополнительно определим операцию свертки:

Рассмотрим два нечетких бинарных отношения и , которые соответствуют правилам R: F ® G и S: G ® H.

Свертка двух нечетких отношений R и S определяется следующим образом:

.

Полученное отношение называется сверткой минимакса двух нечетких отношений. Оно будет соответствовать правилу .

Аналогично можно определить операцию свертки нечеткого множества и нечеткого отношения. Пусть задано нечеткое множество и нечеткое отношение , которое интерпретируется, как правило. Операция свертки минимакса нечеткого множества и нечеткого отношения определяется так:

.