Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Основные характеристики волновых процессов. Виды волн (плоские, сферические, цилиндрические). Суперпозиция волн. Когерентность. Интерференция. Стоячие волны.




Волна – процесс распространения гармонических колебаний в упругой среде.

Источники колебания:

-точечные

-линейные

-трёхмерные

Упругая среда – её частицы связаны упругими силами (k-жётскость). Параметры упругой среды (k и m) могут быть сосредоточены в узлах (m) и междоузлах (k)

Смещение частицы в точке (1)

S1=Acosωt1 (t1 – время колебаний в точке 1)

в точке (2)

S2=Acosωt2

t2=t1-x/v

S2=Acosω(t-x/v)=Acos2π(t/T-x/λ)=Acos(ωt-kxX)

(kx=2π/x=ω/v – волновое число вдоль икса)

Длина волны (расстояния, пройдённое за T)

λ=v/ню

для y и z аналогичные уравнения.

k=kxi+kyj+kzk, и для волны в произвольном виде имеем:

S=Acos(ωt-kr), где kr= kxx+kyy+kzz (скалярное произведение)

Волновой вектор K всегда направлен перпендикулярно волновому фронту и = 2π/λ

Монохроматическая волна – волна с одной частотой, k и λ

Волновая поверхность – на ней фаза волны постоянна.

По форме волны:

1) Сферические (с точечным источником)

2) Цилиндрические (с линейным источником)

3) Плоские (от ∞-далёкого источника)

Волновой фронт – волновая поверхность, которая разделяет области, где есть колебания частиц среды и области, где их нет.

Закон движения

плоской волны

S=Acos(ωt-kr), где k – волновое число = 2π/λ

сферической волны

S=(a/r)cos(ωt-kr)

цилиндрической волны

S=(a/sqrt(r))cos(ωt-kr)

Суперпозиция – независимое сложение волн без взаимных искажений в линейной упругой среде. (Линейная среда – в ней результат действия волны (смещение частиц среды) пропорционален амплитуде волны)

Когерентность – согласованность волн по фазе (φ12=const)

Интерференция – суперпозиция когерентных волн, сопровождается перераспределением интенсивности волн в пространстве (сопровождается появлениям max и min интерференции)

A2=A12+A22 + 2A1A2cos(φ1 - φ2)

Суммарная интенсивность

I=I1+I2+2sqrt(I1I2)cos(φ1 - φ2)

При суперпозиции без интерференции

I= I1+I2

Суперпозиция при интерференции

а) максимум интерференции

I=I1+I2+2sqrt(I1I2)

б) минимум интерференции

I=I1+I2 - 2sqrt(I1I2)

Стоячая волна

- частный случай интерференции двух одинаковых встречных волн

S1 по ОХ, S2 против ОХ

S1=Acos(ωt-kxx+φ1), S2=Acos(ωt+kxx+φ2),

S= S1+S2=

=2Acos(-kxx+(φ12)/2)*cos(ωt+(φ12)/2)

S=2Acoskxxcosωt – это не волна! а гармонические колебания с частотой ω и амплитудой А. Не переносит энергию в пространстве, как бегущая волна.

Анализ стоячей волны по х. Узлы и пучности.

а) для пучностей A(x)-2A=Amax

|xпучн|=2πλ/4
б) для узлов A(x)=0=Amin

xузлов=|(n+1/2)λ/2|=(2n+1)λ/4

Анализ стоячей волны по t

a) при t=0 cosωt=1

S=2Acoskxx

Пучность на стенке получается, если стенка из более «слабого» материала, узел на стенке – если материал «сильнее»

б) t=T/4, ω=2π/T

cosωt=0

в) t=T/2

cosωt=1

Соотношения между разностью хода и Δφ

Δφ=kΔx=(2π/λ)Δx

 

 

10. Волновое уравнение. Соотношение неопределённостей для волновых процессов. Групповая и фазовая скорости волн.

Уравнение в частных производных второго порядка, линейное, однородное. Получили его с помощью закона плоской волны.

δ2S/δx22S/δy22S/δz2=(1/v2)*δ2S/δt2 (v – фазовая скорость)

В результате дифференцирования закона движения:

δ2S/δx22S/δy22S/δz2= -Ak2cos(ωt-kr) k=ω2/v2

δ2S/δx22S/δy22S/δz2=(δ2/δx22/δy22/δz2)S=

=ΔS=(1/v2)*δ2S/δt2 Δ= оператор Лапласа

Волновой пакет (группа волн)

Сумма монохроматических компонент:

S(x,t) =

 

Скорость центра x­­­0 – групповая скорость.

ΔS=(1/vфаз2)*δ2S/δt2

При х=х0 – синфазность всех монохроматических составляющих пакета.

φ=ωt+kxx (k=ω/v=2π/λ)

dφ/dk=0=(dω/dk)t-x0

x0=(dω/dk)t=U(t)

Соотношение неопределённостей для волновых процессов.

Для любого х волнового пакета (за исключением х0) Δφ компонент пакета должен быть меньше π (при Δφ=π компоненты уничтожат друг друга, т.к. они противофазны)

Δφ=(dφ/dk)Δk меньше или равно π

dφ/dk=d(ωt+kxx)/dk=(dω/dk)t-x=x0-x

Δφ=(dφ/dk)Δk=(x0-x)Δk меньше или равно π

при 2(x0-x)=Δx будем иметь

ΔxΔkx меньше или = 2π çconst (первое соотношение неопределённостей Δx и Δkx)

Следствия:

1) В узком пакете (Δх мало) набор волновых чисел Δk большой.

2) При уменьшении Δk (возрастание монохроматичности волн пакета) Δх возрастает. при (Δk→0 Δх→∞) монохроматическая волна бесконечна в пространстве.

Аналогично получаем второе соотношение неопределённостей.

ΔωΔt меньше или = 2π

из Δφ=(dφ/dω)Δω меньше или = π

2(t-t0)Δω меньше или = 2π

Следствие:

При возрастании монохроматичности волнового пакета (Δω→0) имеемΔt→∞ çмонохроматическая волна бесконечна во времени

Соотношение групповой (U) и фазовой (vфаз) скоростей.

U=dω/dk=d(2πню)/d(2π/λ)= -λ2(dню/dλ)

v/λ=ню=λ2((1/λ2)vφ-(1/λ)(dvφ/dλ))

U=v0-λ(dvφ/dλ)

таким образом, U>vφ при (dvφ/dλ)<0 и наоборот (dvφ/dλ – дисперсия (зависимость фазовой скорости волн от частоты или длины волны)).

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-21; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты