Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Решить треугольник по двум сторонам и углу между ними — это значит при заданных двух сторонах и углу между ними найти третью сторону и два других угла.



Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников:

если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

7. Задача по теме «Неравенство треугольника».

Расстояния от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Дано: АВ = 3 см, АС = 14 см, DB = 5 см, DC = 6 см.



Доказать: точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Доказательство 1. Предположим, что точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки А и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, точки А и D (рис. а) лежат в разных полуплоскостях (рис. б). Доказательство для обоих случаев аналогично.

Из треугольника ABC в силу неравенства треугольника следует, что АС < АВ + ВС; 14 < 3 -I- BC; т. е. ВС > 11. Из треугольника ABD следует неравенство ВС < BD + DC = 5 + 6, т. е. ВС < 11. Пришли к противоречию, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Доказательство 2. Воспользуемся неравенством треугольника, которое состоит в следующем: для любых трех точек Р, Q и R PR < PQ + QP, причем PR = PQ + QR в том и только в том случае, когда точка Q лежит между Р и R.

Тогда ВС
< 14 е. т. АВ АС 11,>
Кроме того, АС = АВ + ВС =14, так что точка В лежит между А и С на прямой ВС. Но тогда и А лежит на прямой ВС.

Таким образом, все четыре точки лежат на прямой ВС, что и требовалось доказать.