Сходимость метода простых итераций

Метод сходится, если при последовательность { } имеет предел.Обозначим окресность точки радиуса , то есть .Теорема 1. Если липшиц-непрерывна с константой на , то есть выполняется

,

при этом если также выполнено

,

то уравнение имеет единственное решение на и метод простой итерации сходится к решению при любом выборе начального приближения .Так же справедлива оценка:

,

где - точное решение.Из оценки видно, что метод линеен. Пусть непрерывно дифференцируема на , тогда из теоремы вытекают следующие утверждения:Следствие 1. Если для , выполнено , и , тогда уравнение имеет единственное решение на и метод простой итерации сходится к решению.

Следствие 2. Если уравнение имеет решение , непрерывно дифференцируема на и . Тогда существует такое, что на уравнение не имеет других решений и метод простой итерации сходится к решению при