Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Действия над комплексными числами




Действия над комплексными числами.

Действия над комплексными числами

Символический метод нашел широкое применение для расчета сложных цепей переменного тока.

Символический метод расчета основан на использовании комп­лексных чисел.

Комплексное число А состоит из вещественной А и мнимой А" частей, т.е.

A = A+jA".

Комплексное число на комплексной плоскости можно предста­вить вектором. Проекция вектора на вещественную ось (ось абсцисс) соответствует вещественной части комплексного числа А (рис. 14.1а). Проекция вектора на мнимую ось у (ось ординат) со­ответствует коэффициенту при мнимой единице А". Мнимая еди­ница у представляет собой поворотный множитель, умножение на который означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, т.е. в положительном направлении. Мнимая единица j = √-1. Тогда j2 = -1; j3 = -j; j4 = 1.

 

Комплексным числам A = 3+4j и B = 5-2j соответствуют век­торы А и В, изображенные на комплексной плоскости (рис. 14.1а и б) в масштабе.

Модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изоб­ражающего это комплексное число.

Из построения (рис. 14.1а) видно, что модули комплексных чисел определяются выражением

(14.1)

Следовательно,

Углы ά и β, образованные векторами А и В с положительным направлением вещественной оси, называются аргументами комп­лексного числа.

Аргументы комплексного числа (рис. 14.1а) определяются вы­ражением

(14.2)

То есть

Как видно, аргумент комплексного числа В отрицательный, так как вектор В повернут на угол β по часовой стрелке, а не против.

Существует три формы записи комплексного числа:

1) алгебраическая: ; (14.3)

2) тригонометрическая: (14.4)
так как

3) показательная:

(14.5)

где е — основание натурального логарифма, однако в данном случае имеет чисто символическое значение.

Для перевода из показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую пользуются тригонометрической формой записи комплексного числа (14.4).

Для перевода из алгебраической формы записи комплексного числа в показательную определяют модуль по (14.1) и аргумент по (14.2) комплексного числа.

Для перевода комплексного числа из одной формы в другую можно использовать логарифмическую линейку или микрокаль­кулятор.


Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение и вычитание комплексных чисел производится толь­ко в алгебраической форме

На рис. 14.16 видно, что сложение и вычитание комплексных чисел соответствует сложению и вычитанию векторов, изобра­жающих эти числа.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить в алгебраической форме:

Для того чтобы избавиться от комплексов в знаменателе, чис­литель и знаменатель умножают на комплекс, сопряженный с комплексом знаменателя. У сопряженного комплекса знак перед мнимой единицей j изменяется на обратный.

Произведение двух сопряженных комплексов — вещественное число, равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей этих комплексов.

Однако умножение и деление комплексных чисел удобно про­изводить в показательной форме.

При умножении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются алгебраически:

При делении комплексных чисел в показательной форме моду­ли этих чисел делятся, а аргументы вычитаются с учетом знаков:

Таким образом, сложение и вычитание комплексных чисел можно производить только в алгебраической форме, а умножение и де­ление удобней и проще производить в показательной форме.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-21; просмотров: 84; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты