Задача Діріхле

Нехай задано рівняння Пуассона

,

яке на межі області задовольняє граничні умови

Таку крайову задачу називають задачею Діріхле.

Побудувавши сітку Нехай Замінивши частинні похідні скін­чен­ними різницями, отримаємо рівняння

Підставляючи в це рівняння конкретні значення i, j отримаємо систему лінійних алгебраїч­них рівнянь, яку розв’язуємо одним із відомих методів.

Якщо , то таке рівняння називають рівнянням Лапласа.

Приклад 1. Розв’язати граничну задачу

,

Розв’язування. Маємо Нехай Проведемо дискретизацію області та порахуємо значення функції в граничних вузлах. З граничної умови отримаємо

, , , , ;

з граничної умови будемо мати

, ,

, , ;

з граничної умови будемо мати

, , , , ;

з останньої граничної умови :

, , , , .

Значення у внутрішніх вузлах визначимо за формулою

Отже,

Складемо систему з дев’яти рівнянь. Отримаємо

,

Розв’язавши систему, отримаємо

, , ,

, , ,

, , .

Отже, розв’язком даної задачі буде (значення функції у вузлах сітки)