КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задача теплопровідностіРозглянемо рівняння параболічного типу яке задовольняє початкову умову
та граничні умови , , де Класичним прикладом такої задачі є задача теплопровідності або дифузії. Зауваження. Якщо зробити заміну то отримаємо рівняння яке і розглядатимемо далі. Побудуємо сітку та дискретизуємо початкову та граничні умови. Отримаємо , , . Якщо для дискретизації рівняння скористатись правими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння Тоді
Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою. Зауваження. Для того, щоб явна скінченно-різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності Якщо для дискретизації рівняння скористатись лівими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння Тоді Таку схему називають неявною скінчено-різницевою схемою. Якщо вибрати кроки так, щоб , то у випадку явної схеми будемо мати а у випадку неявної – Якщо для явної схеми вибрати , то отримаємо
Приклад 2. Розв’язати рівняння методом сіток ,
Розв’язання. Виберемо крок по осі х і нехай Отже, Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд Порахуємо значення функції в граничних вузлах. З початкової умови будемо мати
З граничної умови отримаємо , , , , ; a з граничної умови будемо мати , ,
Обчислимо внутрішні значення Результати обчислень значення функції занесемо в таблицю:
Розв’язана гранична задача описує розподіл температури в однорідному стержні довжиною 2, а отримані результати - характер охолодження стержня з бігом часу.
|