З постійними коефіцієнтами

Розглянемо окремий випадок ДР (8.12), коли коефіцієнти рівняння р і g є постійними величинами. Таким чином, дано лінійне однорідне диференціальне рівняння (ЛОДР) другого порядку

, (8.17)

де р і g постійні.

Це рівняння може мати безліч розв‘язків, проте серед них необхідно виділити два лінійно незалежних (базисних) розв‘язки.

Шукатимемо розв‘язок рівняння (8.17) у виді , де k - деяке число. Підставляючи цю функцію в рівняння, отримуємо:

і після скорочення цієї рівності на , знайдемо, що число k повинне задовольняти рівнянню

. (8.18)

Рівняння (8.18) називається характеристичним рівнянням для диференціального рівняння (8.17).

При розв‘язанні характеристичного рівняння може представитися три випадки.

В и п а д о к 1. Дискримінант характеристичного рівняння (8.18) , в цьому випадку рівняння (8.18) має два нерівні дійсні корені k₁ і k₂ ( ). І частковим розв‘язком рівняння (8.17) є функції і . Вони утворюють базисну систему розв‘язків (лінійно незалежні), оскільки їх вронскіан

W(x) = .

Отже, загальний розв‘язок рівняння (8.17) має вигляд

. (8.19)

В и п а д о к 2. Дискримінант характеристичного рівняння (8.18) , в цьому випадку рівняння (8.18) має два рівні корені k₁ = k₂ = . І частковим розв‘язком являється лише один розв‘язок . Покажемо, що разом з розв‘язком рівняння (8.17) буде також функція . Дійсно, підставимо функцію в диференціальне рівняння (8.17).

= =

= .

Але , оскільки k₁ є корінь рівняння (8.18); , оскільки k₁ = . Тому , тобто функція являється розв‘язком рівняння (8.17).

Часткові розв‘язки і утворюють базисну систему розв‘язків: визначник Вронського W(x) = . Отже, в цьому випадку загальне рішення ЛОДР являється функція

. (8.20)

В и п а д о к 3. Дискримінант характеристичного рівняння (8.18) , в цьому випадку рівняння (8.18) має два комплексні корені k₁ = = і k₂ = ( , ). І часткові розв‘язки рівняння (8.17) є функції і . В цьому випадку легко переконатися, що функції і є розв‘язки рівняння (8.17) і утворюють базисну систему рішень. Передусім, переконаємося, що ці функції і є розв‘язки диференціального рівняння (8.17). Підставимо значення в рівняння:

= +

+ = .

Але і , тоді = 0 і = 0. Тому , тобто функція є розв‘язок рівняння (8.17). Аналогічним чином доводиться, що функція також є розв‘язок рівняння (8.17). Крім того, ці функції і є лінійно незалежними: їх вронскіан W(x) = . Таким чином, загальний розв‘язок рівняння (8.17) в даному випадку запишеться у виді

= (8.21)