Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение

Из этого уравнения определим переменную функцию С₁(х):

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

.

Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Пример. Решить уравнение

Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу: . Тогда

или

откуда

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

(8.8)

где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.

Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.

Для этого разделим исходное уравнение на yⁿ.

Применим подстановку, учтя, что .

или

Т.е. получено линейное уравнение относительно неизвестной функции z.

Решение этого уравнения будем искать в виде:

Пример. Решить уравнение

Разделим уравнение на xy²:

Полагаем .

Полагая , найдём

.

Произведя обратную подстановку, получаем:

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неодно-родное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, находим окончательный ответ:

.