Диференціал функції і наближені обчислення

Згідно з означенням похідної функції маємо

.

З другого боку, змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу , тому

. (8)

У формулі (8) доданок є нескінченно малою величиною вищого порядку, ніж .

З цього випливає, що при перший доданок у формулі (8) є головною частиною приросту функції. Він є лінійним відносно .

Означення.Головну лінійну частину приросту функції називають диференціалом цієї функції. Диференціал функції позначають через або .

Таким чином

.

Якщо взяти , тоді , а отже . Тому можемо записати формулу для обчислення диференціала у вигляді

.

З останньої рівності одержуємо, що , тобто похідну від функції можна трактувати як відношення диференціалу функції до диференціалу незалежної змінної.

Так як при , та із формули (8) випливає, що похибка у наближеній рівності

(9)

дорівнює і є нескінченно малою більш високого порядку ніж , коли

Рівність (9) часто використовується у наближених обчисленнях.

Якщо , то і рівність (9) набуває вигляду

.

Приклад.Нехай . Оскільки , то при достатньо малих х маємо .

Аналогічно можна показати, що при достатньо малих х мають місце наближені рівності , , , .

Приклад. Нехай r – ставка банківського відсотку (за рік). Знайдемо кількість років n, на протязі яких початкова сума внеску збільшиться у два рази. Оскільки за n років внесок збільшиться в раз, то фактично нам потрібно розв’язати рівняння .

Логарифмуючи це рівняння, одержимо . Звідки .

Замінюючи логарифм у знаменнику його наближеним значенням, одержимо . Так як , то час подвоєння внеску буде (правило сімдесят).

Якщо, наприклад, відсоткова ставка – 10%, то час подвоєння внеску буде приблизно 7 років. А більш точне значення роки.