Математическая модель процесса управления риском

БАЗОВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ

Структура риска

Установим количественные показатели для оценки влияния негативных факторов (НФ) и их взаимосвязь, т.е. модель для оценки природного, природно-техногенного и техногенного рисков по частным показателям. Будем рассматривать риск для некоторого объекта как сложное событие, происходящее при совместном наступлении ряда случайных событий (рис.3.38):

1) появления опасного фактора, способного потенциально привести к наступлению риска на некотором объекте, характеризуемого частотой l(t)или вероятностью появления фактора P_факт(t);

2) возможность воздействия негативного фактора (НФ) на объект риска, характеризуемая вероятностью P_возд(t) (здесь также учитывается возможность попадания объекта в зону действия НФ опасного явления, для перемещающихся объектов необходимо учитывать временной фактор, в течение которого объект находится в зоне действия НФ, учитывается действие систем безопасности и т.д.);

3) причинения ущерба W в результате наступления риска на объекте.

Рис. 3.38. Структура риска

Размер ущерба зависит от многих факторов: числа объектов, попавших в зону действия негативных факторов опасного явления, возможности формирования в случае их разрушения вторичных негативных факторов для других объектов и людей и др.

Случайные события, перечисленные на рис. 3.38 представляют собой зависимые совместные события, поэтому вероятность реализации рисковой ситуации определяется следующим выражением:

P_риск(t) = P_факт(t)•P_возд(t) (3.9.1)

Риск, соответственно, определяется как произведение вероятности наступления рисковой ситуации на ее последствия, т.е. ущерб. Первопричиной ЧС являются имеющиеся на рассматриваемой территории источники опасности, которые будут рассмотрены в последующих главах.

Как уже отмечалось ранее (см. гл.1), факторы риска появляются в результате воздействия среды (социальной, природной, техносферы, экономической и т.д.). Однако, частота (или вероятность) появления негативных факторов риска зависит не только от характеристик внешней среды, формирующей источники опасности для объектов, но и от действий систем управления риском, предупреждающих возникновение данных негативных факторов, либо вовремя их нейтрализующих в случае их появления. Именно этому аспекту и будут посвящены наши рассуждения в рамках данного раздела.

Математическая модель процесса управления риском

Как было отмечено ранее (см. п.п.1.1), в процессе исследования риска рассматриваются в общем виде три основных элемента: среда, формирующая негативные факторы воздействия, объекты риска, а также субъекты управления риском.

Подход к управлению и предупреждению наступления риска в рамках отношений данных элементов позволил разработать совокупность конструктивных методов и модели управления риском. Разработана структурная схема процесса управления (предупреждения) возникновения рисковых ситуаций (рис. 3.39).

Рис. 3.39. Структурная схема процесса управления риском

Система управления риском (СУР), предупреждающая возникновение рисков условно состоит из 2-х подсистем: информационной подсистемы (ИПС) и управляющей подсистемы (УПС). Задачей информационной подсистемы является проведение мониторинга, с целью определения и идентификации негативных факторов (НФ), воздействующих на объекты риска и способные привести к реализации риска. Задачей управляющей подсистемы является проведение профилактических мероприятий, направленных на нейтрализацию выявленных ИПС в ходе мониторинга факторов риска, различных нарушений и пр., с целью предупреждения возникновения риска на объекте риска.

Процесс управления риском представляется последовательным выполнением трех основных этапов.

Этап 1.Формируется случайный пуассоновский поток негативных факторов внешней среды, способных привести к наступлению рисковой ситуации на объекте, с интенсивностью λ(t). В рамках данного раздела рассматриваются однородные факторы воздействия. Значения интенсивности λ(t) чаще всего определяется на основе статистических данных.

Этап 2. Информационная подсистема СУР, обладающая определенными средствами и организационно-техническими возможностями, выполняет функции по своевременной идентификации НФ с интенсивностью v₁(t). Значения интенсивности v₁(t) определяются организационно-техническими возможностями ИПС. Промежутки времени между моментами обнаружения НФ являются величинами случайными. Обнаруженные факторы во времени образуют поток, который весьма близок к пуассоновскому потоку.

Этап 3. Полученные данные информационной подсистемой об определенных и идентифицированных НФ поступают в управляющую подсистему (УПС) системы управления риском, которая в свою очередь формирует действия по их устранению нарушений и нейтрализации НФ. Действия УПС выполняются с интенсивностью v₂(t), значения которой зависят от организационно-технических возможностей УПС. Поток проведения данных мероприятий также является пуассоновским.

В работе рассматривается случай, когда время пребывания негативных факторов в области действия УПС весьма ограниченно и соизмеримо со временем, которое необходимо для их идентификации, а также обработки данных и принятия адекватных действий по нейтрализации этих факторов. Поэтому данную систему можно в первом приближении рассматривать как систему с отказами. Т.е. система управления риском проводит так называемое «обслуживание» появляющихся негативных факторов, которые могут привести к реализации риска.

Рассмотрим возможные состояния системы управления риском (СУР). Данные состояния определяются на каждый момент времени состояниями соответствующих подсистем:

S₀₀– информационная подсистема (ИПС) системы управления риском и управляющая подсистема (УПС), устраняющая выявленные факторы свободны от обслуживания негативных факторов (никакие мероприятия по мониторингу и профилактике не проводятся);

S₁₀ – ИПС занята получением информации по об одном факторе, УПС свободна от «обслуживания» и не проводит никаких мероприятий;

S₀₁ – ИПС свободна и не проводит никаких мероприятий по мониторингу, а УПС занята обработкой информации о выявленном факторе и выработкой действий по нейтрализации данного фактора;

S₁₁ – обе подсистемы заняты (ИПС проводит мероприятие по мониторингу и получает информацию об одном негативном факторе, УПС проводит мероприятие по нейтрализации другого фактора).

Не нарушая общности рассуждений, будем рассматривать стационарные потоки негативных факторов λ(t), а также стационарные потоки «обслуживания» v₁(t), v₂(t).

Используя подход, описанный в п.3.3 главы 3, можно составить систему дифференциальный уравнений, описывающую поведение данной системы, которая в дальнейшем позволит нам найти вероятности нахождения системы в каждом из состояний в любой момент времени. Для этого необходимо описать возможные переходы системы из одного состояния в другое.

Придадим малое приращение Dt (рис.3.40) и найдем вероятность того, что в момент t+Dt система будет находиться в состоянии S₀₀.

Рис. 3.40

Состояние S₀₀ возможно в следующих несовместных случаях:

– в момент времени t ИПС и УПС были свободны (система уже находилась в состоянии S₀₀), за интервал времени Δt не появился ни один негативный фактор;

– в момент времени t СУР находилась в состоянии S₀₁. За время Δt было закончено проведение мероприятия по нейтрализации фактора, и система перешла в состояние S₀₀).

Состояние S₁₀ возможно в следующих несовместных случаях:

– в момент времени t СУР находилась в состоянии S₀₀, за интервал времени Δt появился негативный фактор, который может привести к наступлению рисковой ситуации, а ИПС соответственно проводит мероприятие по его идентификации;

– в момент времени t СУР находилась в состоянии S₁₀, т.е. ИПС проводила мероприятия по идентификации, за время Δt НФ не был идентифицирован ИПС и соответствующие данные не были переданы в УПС;

– в момент времени t СУР находилась в состоянии S₁₁, за время Δt УПС провела мероприятия по нейтрализации выявленного НФ.

Состояние S₀₁ возможно в следующих несовместных случаях:

– СУР в момент времени t находилась в состоянии S₀₁, за интервал времени Δt в области действия СУР не проявился ни один новый фактор и не было осуществлено устранение уже выявленного негативного фактора УПС;

– в момент времени t СУР находилась в состоянии S₁₀, за время Δt ИПС обнаружила и идентифицировала НФ, а также передала информацию об этом факторе в УПС;

– в момент времени t СУР находилась в состоянии S₁₁, за время Δt ИПС обнаружила и идентифицировала новый НФ, а также передала информацию об этом факторе в УПС.

Состояние S₁₁ возможно в следующих несовместных случаях:

– в момент времени t СУР находилась в состоянии S₀₁, за время Δt появился новый НФ, способный привести к реализации рискового случая;

– в момент времени t СУР была в состоянии S₁₁, за интервал времени Δt не были окончены мероприятия, проводимые соответственно ИПС и УПС.

Таким образом, на основе данных рассуждений можно построить граф состояний системы управления риском (рис. 3.41)

Рис. 3.41. Граф состояний системы управления риском

Каждое из возможных состояний характеризуется в каждый момент времени соответствующей вероятностью. Общая система дифференциальных уравнений, описывающая вероятности каждого из возможных состояний СУР, представляется в следующем виде:

Р₀₀(t) = – Р₀₀(t)λ + Р₀₁(t)n₂

Р₀₁(t) = – Р₀₁(t)(λ + n₂) + Р₁₁(t)n₁ + Р₁₀(t)n₁ (3.9.2)

Р₁₀(t) = Р₀₀(t)λ – Р₁₀(t)n₁ + Р₁₁(t)n₂

P₁₁(t) = P₀₁(t)λ – P₁₁(t)(n₁ + n₂)

Данная система уравнений представляет собой математическую модель процесса управления риском.

Применяя теорему о предельных вероятностях (см. п.п.3.6), можем найти предельные вероятности P₀₀, P₁₀, P₀₁, P₁₁. Это позволяет сделать следующую запись свойств для вероятностей перехода:

t → ∞, Р (t) →0, Р (t) =Р = const.

Тогда система дифференциальных уравнений преобразуются в систему алгебраических уравнений:

Р₀₀ λ = Р₀₁n₂

Р₀₁(λ + n₂) = Р₁₁n₁ + Р₁₀n₁ (3.9.3)

Р₁₀ n₁ = Р₀₀ λ + Р₁₁n₂

P₁₁(n₁ + n₂) = P₀₁ λ

Р₀₀ + Р₀₁ + Р₁₀ + P₁₁ =1

Выразим из системы (3.9.3) вероятности Р₀₁, Р₁₀, Р₁₁ через Р₀₀ и подставим в пятое уравнение системы (нормировочное условие) для нахождения вероятности Р₀₀.

Из первого уравнения имеем: Р₀₁ = Р₀₀.

Из четвертого уравнения имеем: Р₁₁ = Р₀₁ = Р₀₀.

Из третьего уравнения имеем: Р₁₀ = Р₀₀ + Р₁₁ = Р₀₀.

Подставим полученные выражения в нормировочное условие и получаем: Р₀₀ = 1.

После приведения выражения в скобке к общему знаменателю и приведения подобных слагаемых получаем:

Р₀₀ = 1. (3.9.4)

Откуда

Р₀₀ = . (3.9.5)

Как было отмечено ранее (см. п.п.3.6) данные предельные вероятности (Р₀₀, Р₀₁, Р₁₀, Р₁₁) показывают относительное время нахождения системы в каждом из состояний. Таким образом, вероятность Р₀₀ отражает вероятность отсутствия негативных факторов в каждый момент времени.

Тогда вероятность наличия негативных факторов, воздействующих на объект риска, и способных привести к реализации рисковой ситуации, дополняет до единицы вероятность Р₀₀ (т.к. данные события образуют полную группу событий)

P_факт = 1 – Р₀₀ = 1 – . (3.9.6)

Учитывая выражение (3.9.1) можем определить вероятность реализации рисковой ситуации:

P_риск(t) = •P_возд(t). (3.9.7)

Разработанный инструмент позволяет оценить эффективность проведения профилактических мероприятий, прогнозировать результаты деятельности СУР и выработать определенные требования ее деятельности для поддержания требуемого показателя эффективности, т.е. требуемой вероятности наступления рисковой ситуации.