Оценка результатов и случайных погрешностей прямых измерений

Введем принятые по ГОСТу [4] определения истинного и действительного значений физической величины. Истинным значением физической величины называют такое значение, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующие свойства объекта.

Действительным значением физической величины называют значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него. В дальнейшем будем пользоваться термином «истинное значение физической величины».

За истинное значение принимается среднее арифметическое значение всех измерений только при их бесконечно большом числе, т. е.

(при n ∞), (3)

где n – число измерений; x_i – i-ый результат измерения; x₀ – истинное значение физической величины; - среднее арифметическое значение физической величины.

При конечном n среднеарифметический результат отличается от истинного значения измеряемой величины и их разность называется абсолютной погрешностью результата серии n измерений.

Рис.1. Доверительный интервал [ ].

Согласно теории погрешностей, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса). Пусть x₀ – истинное значение физической величины измеренной n раз: x₁, x₂,…, x_n. С помощью закона распределения Гаусса можно указать с какой вероятностью Р величина x₀ окажется в любом интервале значений , который называется доверительным интервалом. Он показан с помощью числовой прямой на рис.1. Вероятность того, что истинное значение физической величины попадает в данный доверительный интервал, называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности измерения a.

По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(4)

и равна (5)

где x – набор значений физической величины, полученный при измерениях; - их среднее арифметическое;

, (6)

Рис.2. Кривая нормального распределения Гаусса.

где σ – параметр, характеризующий ширину кривой Гаусса, график f(x) которойизображен на рис.2.

Эта кривая имеет симметрический колоколообразный вид и характеризуется двумя параметрами: положением вершины и «шириной» - расстоянием между точками перегиба. Значение обычно принимают за ту величину, которую надо измерить, а σ – характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ, тем уже гауссова кривая и тем точнее проведено измерение - не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения x₀ измеряемой величины в этот интервал (так вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой не более чем на σ равна 0,683; не более чем на - 0,955; не более чем на 3σ – 0,997). Мера σ приближения измеренного значения величины к истинному x₀ определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами, заложенными в методику измерения.

Величина σ ², которая входит в формулу (4) имеет важный физический смысл и называется дисперсией (рассеяние, разброс результатов измерения). При бесконечно большом числе измерений она характеризует отклонение результата измерений от истинного значения и является мерой точности измерения.

Поскольку на практике выполняется небольшое число измерений, то реальное распределение погрешностей будет значительно отличаться от нормального гауссового распределения. Этот закон распределения случайных погрешностей для небольшого числа измерений был найден в 1908 г. английским химиком и математиком В.С. Госсетом, который публиковал свои работы под псевдонимом Стьюдент. Существуют таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал , чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую надежность (вероятность) α. За стандартный принимается доверительный интервал , которые будем называть стандартной погрешностью для среднеарифметического значения измеряемой величины:

. (7)

Взяв из таблицы коэффициент Стьюдента t(α, n) по данной надежности α и числе измерений n, можно определить доверительный интервал для случайной погрешности: . (8)

Значения коэффициента СтьюдентаТаблица № 1