Приведем формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии

где у_j- среднее значение отклика по повторным опытам; х_{ij -} кодированное значение i - го фактора в j- ом опыте; u, i – номера факторов, u, i = 0,1,…,k, j = u; N - число опытов в матрице.

Проверка значимости коэффициентов линейной регрессии, выполняемая с помощью критерия Стьюдента, состоит в следующем:

Незначимые коэффициенты отбрасываются без перерасчета остальных коэффициентов, т.к. при таком планировании (для линейной модели) все коэффициенты независимы. Незначимость коэффициентов регрессии может быть обусловлена рядом причин:

1. Фактор, соответствующий незначимому коэффициенту, не влияет на функцию отклика;

2. Имеет место большая ошибка в определении функции отклика;

3. Выбран малый шаг варьирования независимой переменной.

1.4 Проверка адекватности модели

Функция отклика, аппроксимируемая полиномом, коэффициенты которого найдены по методу наименьших квадратов, может не соответствовать (быть неадекватной) наблюдаемым значениям величины у.

Проверку адекватности математической модели выполняют по критерию Фишера (F -критерий).

Если математическая модель неадекватна данным эксперимента, то необходимо перейти к более сложной форме уравнения регрессии или уменьшить интервал варьирования факторов в эксперименте.

Интерпретация модели процесса

После построения модели процесса устанавливают, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии – количественная мера этого влияния. Чем больше коэффициент, тем сильнее влияет фактор. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов: (+) – с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимизации, а (-) – убывает.

Интерпретация знаков при оптимизации зависит от того, ищем ли мы максимум или минимум функции отклика. Для нахождения максимального значения функции отклика нужно увеличивать значения всех факторов, коэффициенты которых положительны, и уменьшать значения тех факторов, коэффициенты которых отрицательны. К уменьшению значения функции отклика ведет уменьшение факторов с положительными коэффициентами и увеличение факторов с отрицательными коэффициентами.

Если эффект взаимодействия имеет положительный знак, то для увеличения параметра требуется одновременное увеличение или уменьшение значений факторов. Для уменьшения параметра оптимизации факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях.

Если эффект взаимодействия имеет отрицательный знак, то для увеличения параметра оптимизации факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях. Для уменьшения параметра оптимизации требуется одновременное увеличение или уменьшение факторов.

Принятие решений после построения линейной модели процесса

Если линейная модель адекватна и коэффициенты уравнения регрессии значимы, то экспериментатор может или закончить исследование или перейти к планам второго порядка, что дает возможность получить математическое описание области оптимума и найти экстремум или использовать полученное уравнение для крутого восхождения по поверхности отклика для нахождения экстремума функции отклика.

Пример. По результатам предварительного анализа было установлено, что на вибрацию двигателя оказывают доминирующее влияние три технологических фактора: х₁ – дисбаланс коленчатого вала в сборе с маховиком и сцеплением, х₂ – масса комплекта шатунно-поршневой группы, х₃ – зазор в коренных подшипниках.

Требуется построить модель для прогноза уровня вибрации в зависимости от трех факторов по результатам экспериментов.

1. Уравнение модели ищем в виде:

у = b₀ + b₁ х₁ + b₂ х₂ + b₃ х₃.