Краткие исторические сведения. Задачи на решения уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах

Задачи на решения уравнений первой степени встречаются еще в вавилонских клинописных текстах. В них же есть некоторые задачи, приводящие к квадратным и даже кубическим уравнениям (последние, по-видимому, решались с помощью подбора корней). Древнегреческие математики нашли геометрическую форму решения квадратного уравнения. В геометрической же форме арабский поэт, математик и философ Омар Хайям (ок. 1048 – 1131) исследовал кубическое уравнение, хотя и не нашел общей формулы его решения. Решение кубического уравнения было найдено в начале XVI в. в Италии. После того как Даль Ферро (1465 – 1526) решил один частный вид таких уравнений, в 1535 г. итальянец И. Тарталья(ок. 1500 – 1557) нашел общую формулу, которую долгое время называли именем Кардано,узнавшего ее от Тартальии опубликовавшего в 1545 г. в своей книге «Ars magna de rebus algebraicis» («Великое искусство алгебраических правил»). Ученик Кардано молодой математик Лудовико Феррари (1522 – 1565) решил общее уравнение 4-й степени. После этого на протяжении двух с половиной столетий продолжались поиски формулы для решения уравнений пятой степени. В 1823 г. замечательный норвежский математик Н. Абель(1802 –1829) доказал, что такой формулы не существует. Точнее говоря, он доказал, что корни общего уравнения пятой сте­пени нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операции извлечения корня. Глубокое исследование вопроса об условиях разрешимости уравнений в радикалах провел математик Э. Галуа(1811 –1832), погибший на дуэли в возрасте 21 года. Некоторые проблемы теории Галуа решил советский алгебраист Игорь Ростиславович Шафаревич (род. 1923).

Наряду с поисками формулы для решения уравнения пятой степени велись и другие исследования в области теории алгебраических уравнений. Ф. Виет(1540 –1603) установил связь между коэффициентами уравнения и его корнями.

Общий метод исключения одного неизвестного из двух уравнений с двумя неизвестными разработал французский математик П. Ферма(1601 – 1665), известный своими работами по теории чисел и аналитической геометрии. Его метод был усовершенствован крупнейшим математиком XVIII в. Л. Эйлером(1707 – 1783) и французским математиком Э. Безу (1730 – 1783). Безу впервые показал, что степень уравнения, получающегося после исключения неизвестного, вообще говоря, равна произведению степеней заданных уравнений. П. Ферматакже дал общий метод для решения иррациональных уравнений путем сведения их к системе целых алгебраических уравнений.

Графические методы решения систем уравнений основаны на аналитической геометрии, созданной Я. Декартом(1596 – 1650). Эти методы получили широкое распространение в XIX в. В настоящее время, в связи с созданием вычислительных машин, роль графических методов решения систем уравнений уменьшилось, и ими пользуются лишь для грубой прикидки результата.

Теорию систем линейных уравнений со многими неизвестными впервые систематически изучал знаменитый немецкий математик и философ Г. Лейбниц(1646 –1716). Швейцарский математик Габриель Крамер (1704 – 11752) в 1750 г. дал правило решения систем линейных уравнений в случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, а система имеет единственное решение. Другой метод решения таких систем предложил великий немецкий математик К. Гаусс(1777 – 1855). Впрочем, надо отметить, что в древнем Китае еще до новой эры были разработаны правила решения систем линейных уравнений, напоминаю щие метод Гаусса. Эти правила были усовершенствованы японскими математиками. Во второй половине XIX в. было найдено общее условие разрешимости системы линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений дала толчок развитию теории матриц – прямоугольных таблиц чисел. Сейчас теория матриц широко применяется в самых различных областях математики и техники (например, при расчете электрических цепей, в атомной физике и др.).

Глубокое изучение систем линейных неравенств началось во второй поло-вине двадцатого столетия. Толчок к этому изучению дало создание линейного программирования – одного из новейших разделов математики. Основные идеи линейного программирования были развиты в конце тридцатых годов XX в. советским математиком и экономистом Леонидом Витальевичем Канторовичем 1912-1986). Современную форму методы линейного программирования получили в работах американских ученых. Эти методы получили широкое применение в различных областях экономики, военного дела и т.д.