Равномощность неравенств

Определение.Два неравенства f₁(х) f₂(х), х Х, и g₁(x) g₂ (x), х Х, называются равносильными на некотором множестве Х, если их множества решений совпадают.

Например, 2х + 2 < 5 х + 4 > 3х + 1,так как решением каждого из них служит интервал (– ; 1,5).

Определение. Пусть на некотором множестве Х задано неравенство f₁(х) f₂(х)(1). Неравенство g₁(x) g₂ (x), х Х, (2) называется следствием данного неравенства (1), если его множество решений является подмножеством множества решений неравенства (2).

Запись f₁(х) f₂(х) g₁(x) g₂ (x) означает, что неравенство (2) есть следствие неравенства (1).

Например, неравенство х² + 3х – 4 0 является следствием неравенства х + 4 0. Так как множество решений второго неравенства (Т₂ = (– ; – 4]) есть подмножество множества решений первого неравенства (Т₁ = (– ; – 4] [1; + )).

Таким образом, два неравенства равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.