Свойства бесконечно малых.

· Сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство.

Пусть задано . Если - б.м., то , т.е. .

Если - б.м., то , т.е. .

-----------------------

, т.е. - б.м.

Следствие: сумма любого конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

· Произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая.

Доказательство.

Пусть задано . Если ограничена , то .

Если - б.м., то , т.е. .

------------------------

, т.е. - б.м.

Следствие: Произведение бесконечно малой на сходящуюся есть бесконечно

малая.

Доказать, что последовательность сходится. Найти предел.

Решение.

где - ограниченная (т.к. ),

- б.м. (т.к. ).

Тогда - б.м.

· Сходящаяся последовательность отличается от своего предела на бесконечно малую. (Т.е. ( ) ( , где - б.м.). )

Доказательство.

Расшифруем оба утверждения: 1) : .

2) , где - б.м.: .

Очевидно, что данные утверждения означают одно и то же.

Вычисление пределов.

Теоремы о пределах:

· Пусть последовательности и сходятся, причем , . Тогда последовательность сходится, причем .

(Предел суммы есть сумма пределов.)

Доказательство.

. Тогда ( - б.м..).

Тогда ( - б.м..).

----------------------

; - б.м.

Заметим, что текстовая формулировка, данная в скобках, не совсем хороша, т.к. существование предела суммы последовательностей еще не гарантирует сходимости каждого слагаемого.

1) Приведите примеры пар последовательностей, таких, чтобы:

а) каждая из них сходилась, и сумма сходилась;

б) сумма сходилась, а каждое из слагаемых – нет.

2) Верно ли, что сумма сходящейся и расходящейся последовательностей расходится? Почему? Если да – докажите. Если нет – приведите контрпример.

(Не забудьте про метод «от противного»!)

· Пусть последовательности и сходятся, причем , . Тогда последовательность сходится, причем .

(Предел произведения есть произведение пределов.)

Доказательство.

. Тогда ( - б.м..).

Тогда ( - б.м..).

----------------------

; ( ) - б.м.

1) Приведите примеры пар последовательностей, таких, чтобы:

а) каждая из них сходилась, и произведение сходилось;

б) произведение сходилось, а каждый из множителей – нет.

2) Верно ли, что произведение сходящейся и расходящейся

последовательностей расходится? Почему? Если да – докажите. Если нет –

приведите контрпример.

(Будьте внимательны!)

· Пусть последовательности и сходятся, причем , , . Тогда последовательность сходится, причем .

(Предел отношения есть отношение пределов.)

Доказательство.

. Тогда ( - б.м..).

Тогда ( - б.м..).

----------------------

;

(- ) - б.м.; - ограниченная. Тогда

- б.м.

Примеры вычисления пределов.

а) ; б) ; в) .

Решение.

Здесь мы воспользуемся теоремами о пределе суммы, произведения и частного, а также основным свойством дроби (числитель и знаменатель дроби можно одновременно разделить на , и при этом дробь не изменится).

а)

б)

в)