Предел монотонной последовательности.

Теорема. Если последовательность яваляется возрастающей или неубывающей и ограничена сверху, то она сходится (имеет предел).

Если последовательность яваляется убывающей или невозрастающей и ограничена снизу, то она сходится (имеет предел).

Замечание. Т.к. понятие предела отностися только к «хвосту» последовательности, то теорема выполняется и в том случае, когда последовательность монотонна только с некоторого номера (финально монотонна).

Переформулировка. (Наиболее часто употребляемая, но использующая понятие общей ограниченности. Попробуйте, например, доказать, что если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она ограничена.)

Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Иллюстрация: периметры вписанных в окружность правильных

(НЕ - угольников составляют возрастающую

доказательство!) последовательность , каждый член которой меньше,

например, периметра правильного описанного около

этой же окружности восьмиугольника.

Последовательность имеет предел – длину

окружности.

Замечание. Предел монотонной ограниченной числом последовательности не обязан быть равным именно (например, периметру восьмиугольника!), т.к. чисел, ограничивающих последовательность, много!