КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Разбиение множества на классы. Классификация
В процессе изучения предметов и явлений окружающего мира мы постоянно сталкиваемся с классификацией. Классификация широко используется в биологии, химии, математике, языке и многих других науках. Она облегчает процесс усвоения знаний.
Классификация в любой области человеческой деятельности связана с разбиением множества на подмножества (классы). Например, классификация частей речи, членов предложения, чисел, геометрических фигур и так далее.
Полученные подмножества должны обладать некоторыми свойствами:
1) они не должны быть пустыми;
2) не должны содержать общих элементов;
3) объединение всех подмножеств должно равняться самому множеству.
Определение: Классификацией или разбиением множества на классы называется представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств.
Для примера рассмотрим классификацию с помощью двух свойств.
Пусть U –множество студентов института, свойство α - «быть отличником», свойство β - «быть спортсменом». С помощью указанных свойств можно выделить следующие подмножества:
А –множество отличников;
–множество не отличников;
В –множество спортсменов;
–множество не спортсменов.
Множество U в этом случае оказывается разбитым на следующие четыре класса (подмножества):
I– множество отличников-спортсменов;
II– множество отличников - не спортсменов;
III– множество не отличников - спортсменов;
IV– множество не отличников - не спортсменов;
Рис. 2
Можно доказать, что если n– число свойств, то максимальное число классов в разбиении равно 2n.
Число элементов объединения и разности двух конечных множеств
Пусть A и B – конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом m(A) и называть численностью множества A.
Определим численность объединения множеств A и B.
Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то m(AÈB) = m(A) + m(B). Таким образом, численность объединения конечных непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.
Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то в сумме m(A) + m(B) число элементов пересечения AÇB содержится дважды: один раз в m(A),а другой – в m(B). Поэтому, чтобы найти численность объединения m(AÈB), нужно из указанной суммы вычесть m(AÇB). Таким образом:
m(AÈB) = m(A) + m(B) - m(AÇB)
Определим теперь численность разности множеств A и B.
Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то A \ B = A, и поэтому m(A\B) = m(A).
Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то m(A\B) = m(A) - m(AÇB).
Если В Ì А (см. рис. 1в), то AÇB = B, и, следовательно, m(A\B) = m(A) - m(B).
ЗАДАЧИ ТЕМЫ «МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ»
1. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?
2. Из 40 студенток 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько студенток умеют плавать и играть в шахматы?
3. 20 мальчиков поехали на пикник. При этом 5 из них обгорели, 8 были сильно покусаны комарами, а 10 остались всем довольны. Сколько обгоревших мальчиков не было покусано комарами? Сколько покусанных комарами мальчиков также и обгорели? (Сформулируйте эту задачу как лингвистическую, например: анализ наличия 2 предлогов в предложениях; и в общем виде, используя понятия: множество, подмножества и их элементы)
4. В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет, В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?
5. В олимпиаде по иностранному языку принимало участие 40 студентов, им было предложено ответить на один вопрос по лексикологии, один по страноведению и один по стилистике. Результаты проверки ответов представлены в таблице:
| Получены правильные ответы на вопросы | Количество ответов |
| по лексикологии | |
| по страноведению | |
| по стилистике | |
| по лексикологии и страноведению | |
| по лексикологии и стилистике | |
| по страноведению и стилистике |
Известно также, что трое не дали правильных ответов ни на один вопрос. Сколько студентов правильно ответили на все три вопроса? Сколько студентов правильно ответили ровно на два вопроса?
6. Среди абитуриентов, выдержавших приемные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по сочинению–48 абитуриентов, по истории–37, по английскому языку–42, по сочинению или истории–75, по сочинению или английскому языку–76, по истории или английскому языку–66, по всем трем предметам–4. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятерку? Сколько среди них получивших только одну пятерку?
7. 180 студентов одного курса сдавали экзамены по английскому языку и истории. 15 из них не сдали экзамен по истории, 10 не сдали экзамен по английскому языку и 5 не сдали обоих экзаменов. Сколько студентов не сдали экзамен по истории и сдали экзамен по английскому языку. Сколько студентов сдали экзамен по истории н не сдали экзамен по английскому языку?
8. Каждый из студентов 3 курса в летние каникулы ровно два раза был в театре, при этом спектакли А, В и С видели соответственно 25, 12 и 23 студента. Сколько студентов на 3 курсе? Сколько из них видели спектакли А и В, А и С, В и С?
9. В течение недели в кинотеатре демонстрировались фильмы А, В и С. Из 40 студентов, каждый из которых просмотрел либо все три фильма, либо один из трех, фильм А видели 13, фильм В – 16, фильм С – 19. Найти, сколько студентов просмотрели все три фильма.
10. Преподаватель решил узнать, кто из 40 студентов читал книги А, В и С. Результаты опроса оказались таковы: книгу А читало 25 человек, книгу В – 22, книгу С – также 22. Книгу А или В читали 33 студента, А или С – 32, В или С – 31; все три книги прочли 10 студентов. Сколько студентов прочли только по одной книге? Сколько студентов не читали ни одной из этих трех книг?
11. В спортивном лагере 65% студентов умеют играть в футбол, 70%–в волейбол и 75%–в баскетбол. Каково наименьшее число студентов, умеющих играть и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол?
Образец контрольной работы (время выполнения – max 30 минут)
Задача 1. Пусть R – множество букв современного русского алфавита,
A – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово аксиома,
B – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово скорость,
C – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово паспорт.
Задать способом перечисления следующие множества и найти количество их элементов:
а) A È Bб) B Ç Cв) C \ Aг) A Ç BÇ C
Задача 2. Исследуется текст из 100 предложений. В каждом из 100 предложений имеется либо местоимение «я», либо местоимение «ты», либо оба местоимения. Всего в тексте встретилось 60 местоимений «я» и 50 местоимений «ты». Сколько предложений содержат и местоимение «я» и местоимение «ты»? Сколько предложений содержат местоимение «я» и не содержат местоимения «ты»?
Задача 3. Из 35 сотрудников фирмы «Толмач», каждый из которых владеет хотя бы одним иностранным языком, 25 человек знают английский язык, 15 человек – греческий язык, 20 человек – французский язык, 15 человек знают английский и французский языки, 6 – греческий и французский языки и 10 – греческий и английский языки. Сколько сотрудников фирмы знают: а) все 3 языка?
б) только греческий и французский языки (т.е. знают греческий и французский языки, но не знают английского языка)?
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 126; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |