Эквивалентность нечётких формул

Определение. Пусть х₁, ..., х_n - нечеткие переменные. n- мерным нечетким вектором `хⁿназывается вектор вида (х₁, ..., х_n).

Определение. Нечеткой функцией, реализующей не-четкую логическую формулу , называется отображение, которое получается после подстановки значений перемен-ных в формулу .

Определение. Пусть (`х<sup>n</sup> ) и (`хⁿ )- нечеткие ло-гические формулы. Cтепенью равносильности формул (`х<sup>n</sup> ) и (`хⁿ ) m( , ) называется величина

m ( , ) = & { (a₁, ..., a_n) º (a₁, ..., a_n)}.

^{(a1, ..., an)}

где & - конъюнкция по всем возможным наборам степеней истинности`a<sup>n</sup> = (a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>) вектора `хⁿ₌ (x₁,...,х_n). Мно-жество всех возможных наборов степеней истинности `a <sup>n</sup> вектора`х ⁿ назовем его полной областью определения Сⁿ.

В отличие от 2-значной логики мощность точек в Сⁿ не конечна, а континуальна. Это затрудняет анализ формул.

Определение. K-разбиением интервала [0,1] назовём

набор чисел ( m₀, m ₁, ..., m_k), удовлетворяющий условию: 0 = m₀ <m₁ <...<m_n = 1. Будем обозначать K - разбиения интер-вала [0,1] через С_k.

Определение. K - разбиение интервала [ 0, 1 ] назо-вем равномерным, если m_i = i / k, i= 0,1, ...,k.

Определение. Cеточным k- разбиением полной об-ласти определения Сⁿ называется декартово произведение Сⁿ_k k-разбиений множества С_k интервала [0,1].

Обычно при изучении нечётких функций используют равномерные разбиения, поскольку в этом случае можно проще получить аналитические выражения величин и за-программировать соответствующие вычисления .

Определение. Если m( , ) ³ 0,5 на полной облас-ти, то нечеткие формулы и нечетко эквивалентны.

Обозначается эквивалентность нечетких формул ана-логично равенству нечётких множеств: » .

Определение. Случай m( , )=0,5 выделяется осо-бо. При этом говорят, что и нечетко индифферентны.

Определение. Если m( , ) < 0,5 ; то нечеткие фор-мулы и нечетко неэквивалентны.

Определение. Степенью неравносильности формул и называется величина `m ( , ) = 1 - m ( , ).

Нечеткие формулы, также как и четкие, могут быть рассмотрены только на некоторой части своей полной об-ласти определения Сⁿ. Поэтому наряду с обычной равно-сильностью формул рассмотрим её обобщение на случай произвольных множеств наборов степеней истинности пе-ременных.

Определение. Рассмотрим некоторое множество М полной области определения Сⁿ. Cтепенью равносильности нечетких логических формул (`х<sup>n</sup>) и (`хⁿ ) на множестве М называется величина

m_М ( , ) = & { (a₁, ..., a_n) º (a₁, ..., a_n)},

где &-конъюнкция по всем возможным наборам степеней истинности `a ⁿ = (a₁, ..., a_n), входящих в М.

Понятия эквивалентности, неэквивалентности и ин-дифферентности формул на множестве вводятся по анало-гии с полными понятиями.

Замечание. Нечеткие формулы (`х<sup>n</sup> ) и (`хⁿ ), имеющие одинаковые значения истинности на всех набо-рах переменных из некоторого множества М, будут иметь степень равносильности 1 тогда и только тогда, когда реа-лизующие их нечеткие функции одновременно принимают четкие значения истинности - 0 или 1, т.е. являются четкими функциями. Если же функции c одинаковыми зна-чениями истинности принимают хотя бы одно нечеткое зна-чение, то степень их равносильности будет лежать в интер-вале от 0,5 (включительно) до 1: 0,5 £ m ( , ) < 1.

Так как 0,5 являетсяпороговым значением, то для упрощения практического определения эквивалентности формул можно использовать следующий критерий, выра-жающий её через истинностные значения формул на кон-кретных наборах.

Теорема 1. Формулы (`х<sup>n</sup> ) и (`хⁿ ) эквивалентны на множестве М тогда и только тогда, когда реализующие их функции на одинаковых наборах (`a<sup>n</sup> )Î М одновре-менно ложны ( 0 £ (`aⁿ ) £ 0,5; 0 £ (`a<sup>n</sup> ) £ 0,5) либо одновременно истинны (0,5 £ (`aⁿ ) £ 1; 0,5 £ (`aⁿ ) £ 1 ). Т.е. на каждом наборе значений истинности переменных функции должны принимать значения истинности по одну сторону от порогового значения 0,5.

Доказательство. 1. Необходимость. Если формулы и эквивалентны, то m( , )> 0,5. Допустим, существует на-бор aⁿ_k, на котором функция формула ложна, а - ис-тинна ( 0 £ (`a<sup>n</sup> )<sub>k</sub> £ 0,5 и 0,5£ (`aⁿ )_k £ 1). По опреде-лению эквивалентности получим:

( (`a<sup>n</sup> )<sub>k</sub> º (`aⁿ)_k)= min(mах( 1 - (`a<sup>n</sup> )<sub>k</sub>, (`aⁿ )_k), mах ( (`a<sup>n</sup> )<sub>k</sub>, 1 - (`aⁿ )_k). Во втором максимуме оба аргумента меньше 0,5. Поэтому на наборе (`a<sup>n</sup> )<sub>k</sub> значение функции эквивалентность ( (`aⁿ )_k º (`a<sup>n</sup> )<sub>k</sub>) =`m <0,5. Подставляя значение `m в формулу для степени равно-сильности, получим:

m( , )= & { (`a<sup>n</sup> )º (`aⁿ )}= min{ (`aⁿ )º

`^{an ÎМ}

(`a<sup>n</sup> )}£ `m <0,5.

Это противоречит эквивалентности формул.

Случай 0 £ (`a<sup>n</sup> )<sub>k</sub> £ 0,5 и 0,5£ (`aⁿ )_k £ 1 рас-сматривается аналогично.

2.Достаточность. Пусть на всех наборах`aⁿ Î М обяза-тельно выполняется одно из условий

а) (0 £ (`a<sup>n</sup> ) £ 0,5; 0 £ (`aⁿ ) £ 0,5) или

б) (0,5 £ (`a<sup>n</sup> ) £ 1; 0,5 £ (`aⁿ ) £ 1 ).

Раскрывая определение эквивалентности на каждом наборе, получим:

( (`a<sup>n</sup> ) º (`aⁿ ))= min (mах ( 1 - (`a<sup>n</sup> ), (`aⁿ )), mах ( (`a<sup>n</sup> ), 1 - (`aⁿ )). При выполнении условий а) или б) оба максимума будут содержать аргументы, пре-вышающие 0,5. Поэтому значение эквивалентности на всех наборах будет также превышать 0.5. Поскольку умножение эквивалентностей ( (`a<sup>n</sup> ) º (`aⁿ )) сводится к опреде-лению минимума их значений, то при этом получим:

m( , ) > 0,5.

Отсюда по определению следует эквивалентность формул (`х<sup>n</sup>) и (`хⁿ ), что и требовалось доказать.

При анализе функций на отдельных множествах, вхо-дящих в полные области определения переменных Сⁿ, часто возникают ситуации, когда обе функции на всём множестве

истинны (либо ложны на всём множестве). В этом случае их эквивалентность можно сразу установить из следствий Тео-ремы 1.

Следствие 1. Если функции, реализующие формулы (`хⁿ) и (`хⁿ), на всех наборах множества М истинны, то формулы эквивалентны на М.

Следствие 2. Если функции, реализующие формулы (`хⁿ) и (`хⁿ), на всех наборах множества М ложны, то формулы эквивалентны на М.

Анализируя формулу для степени равносильности, можно доказать и более сильные утверждения.

Теорема 2. Если функции, реализующие формулы (`хⁿ) и (`хⁿ) на всех наборах множества М истинны и их минимальное значение истинности равно μmin, то сте-пень равносильности формул μ( , ) = μmin.

Теорема 3. Если функции, реализующие формулы (`хⁿ) и (`хⁿ), на всех наборах множества М ложны и их максимальное значение истинности равно μmах, то степень равносильности формул

μ( , ) = 1- μmах.

Также на практике часто встречается случай полной равносильности (неравносильности) формул, когда

μ( , ) =1 ( μ( , )) =0 ).

Критерий полной неравносильности можно предста-вить в следующем виде:

Теорема 4. Функции, реализующие формулы (`хⁿ) и (`хⁿ) на множестве М, полностью неравносильны тогда и только тогда, когда существует такой набор`αⁿ Î М, на котором (`αⁿ)=0 ; (`αⁿ)=1 либо ( `αⁿ)=1; (`αⁿ)=0.

Пример 1. Определить степень равносильности и эк-вивалентость нечётких функций, реализующих формулы = ® , = ( & ) на:

а) полной области определения С2,

б) равномерном сеточном 4-разбиении С2 4,

в) на множестве М={( , )=[(0;0);(0;0,1);(0,1;0);(0,1;0,1); (0;0,2);(0,2;0);(0,1;0,2);(0,2;0,1);(0,2;0,2)]}.

Решение.

а) На наборе значений ( 1 , 1 ) = max( 0 , 1 )=1, =1 - min( 1 , 1) = 0. Поэтому по Теореме 4 формулы полностью неравносильны ( μ( , ) = 0 ) и, следовательно, не эквива-лентны.

б) Набор значений ( 1, 1 ) входит в сеточное 4 - разбиение С2 4, поэтому как и в п. а) формулы не эквивалентны.

в) Анализ функций на множестве М проще выполнять в таб-лице, которая приведена ниже.

По определению m_М ( , ) =min ( º ) по всем на-борам, входящим в М, т.е. по значениям, стоящим в послед-нем столбце таблицы. Получим: m_М ( , ) =0,8. Следова-тельно, на рассмотренном множестве формулы эквивалент-ны и степень их равносильности на нем: m_М ( , ) = 0,8.

				®	®	º
0	0	1	1	1	1	1
0	0,1	1	1	1	1	1
0	0,2	1	1	1	1	1
0,1	0	0,9	1	1	0,9	0,9
0,1	0,1	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9
0,1	0,2	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9
0,2	0	0,8	1	1	0,8	0,8
0,2	0,1	0,8	0,9	0,9	0,8	0,8
0,2	0,2	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8

Замечание. В случае в) эквивалентность можно было непосредственно получить по Следствию 1 из Теоремы 1, а степень равносильности m_М ( , ) = 0,8 – из Теоремы 2.

Пример показывает, что одна и та же пара формул может одновременно быть нечётко эквивалентной и неэкви-валентной в зависимости от множества М, на котором рас-сматриваются формулы.

Определение. Допустим, нечёткие формулы (`хⁿ) и (`хⁿ), рассмотрены на некотором множестве М. Области изменения нечётких переменных `хⁿ, на которых формулы

( `хⁿ ) и ( `хⁿ ) нечётко эквивалентны (μ ( , ) > 0 , 5) , называют решениями логического уравнения

(`хⁿ)» (`хⁿ) на множестве М либо областью экви-валентности формул (`хⁿ) и (`хⁿ) на множестве М.

Обозначим объединение всех решений через S. При решении логических уравнений на полной области опре-деления Сⁿ необходимо рассматривать структуру формул и анализировать основные случаи, при которых возможна эквивалентность формул. Такой способ решения невозмож-но полностью формализовать .

В случае рассмотрения формул на сеточных разбиени-ях все решения уравнения могут быть найдены простым перебором. И в первом и во втором случае в зависимости от сравниваемых формул может оказаться более простым оп-ределение вместо решения S его дополнения M \ S.

Пример 2. Определить область эквивалентности не-чётких формул = ® , = ( & ) на

а) полной области определения С2,

б) на множестве М={( , )= [(0;0,3);(0;1);(0,7;0);(1;0,4); (0,5;0,5)]} .

Решение.

а) Разобьём полную область определения С2 = {0≤ ≤1; 0≤ ≤1} на несколько частей и поочерёдно рассмотрим экви-валентность формул на них.

1. М₁={0≤ ≤0,5;0≤ ≤1}. В этой области ® = max (1- , )≥1- > 0,5;( & ) = 1- min ( , ) ≥1- >0,5. По Следствию 1 из Теоремы 1 формулы эквивалентны на М₁, т.е М₁Ì S.

2. М₂={0,5≤ ≤ 1;0≤ ≤0,5}. Так как 1- <0,5 и <0,5; то ® =max(1- , )< 0,5; ( & ) = 1- min ( , ) ≥ 1- >0,5. По Теореме 4 формулы неэквивалентны на М₂, т.е М₂Ë S .

3. М₃={0,5≤ ≤ 1;0,5≤ ≤1}. ® =max(1- , )= > 0,5; ( & ) = 1- min ( , ) <0,5. По Теореме 4 получим: М₃ Ë S.

Таким образом, исследование полной области опреде-ления С2показало, что S= М₁={0≤ ≤0,5;0≤ ≤1}.

б) Пронумеровав все наборы от 1 до 5, вычислим значения формул на них :

₁= ₂=1 ; ₃=0,3; ₄=0,4 ; ₅=0,5;

₁= ₂ = ₃=1 ; ₄=0,6 ; ₅=0,5.

На наборах 1,2 формулы одновременно истинны; на наборах 3,4 – ложна, – истинна; на наборе 5 обе формулы индифферентны . Поэтому решением (областью эквивалентности формул на всём М ) будет следующее его подмножество

S = {( , )=[(0;0,3);(0;1)] }.

Определение. Если формула (`хⁿ) истинна на всех наборах значений истинности переменных `хⁿ из некото-рого множества М, то она будет на нём нечёткой истинной константой. Обозначается: (`хⁿ) = .

Определение. Если формула (`хⁿ) ложна на всех наборах значений истинности переменных `хⁿ из некоторо-го множества М, то она будет на нём нечёткой ложной кон-стантой. Обозначается: (`хⁿ) = .