Ортогональность векторов, теорема Пифагора в унитарном пространстве.

Лекция 9. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС

9.1. Ортогональность векторов, теорема Пифагора в унитарном пространстве.

9.2. Ортогональный, ортонормированный базис.

9.3. Метод ортогонализации базиса Шмидта.

9.4. Понятие о гильбертовом пространстве.

Ортогональность векторов, теорема Пифагора в унитарном пространстве.

Рассмотрим линейное унитарное пространство . Два вектора в нем называются ортогональными, если выполняется условие:

. (9.1)

В вещественном линейном пространстве, в котором всегда можно ввести понятие угла между векторами и по формуле условие (9.1) означает, что угол между этими векторами равен .

Система векторов , , …, , … из унитарного пространства называется ортогональной системой, если каждые два ее различные векторы попарно ортогональны:

. (9.2)

Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если каждый из ее векторов имеет норму, равную 1: . При этом он называется ортом.

Условие ортогональности (9.2) для ортонормированной системы векторов можно записать в виде:

Для ортогональной системы векторов справедлива следующая теорема:

Любая конечная ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.

Доказательство:

Имеется ортогональная система ненулевых векторов , , …, : , .

Надо показать, что из равенства нулю линейной комбинации этих векторов с необходимостью следует равенство нулю всех ее коеффициентов:

. (9.3)

Для этого умножим равенство (9.3) скалярно сначала на , затем на и т.д. При этом получим, что ЧТД.

Следствие: В -мерном унитарном пространстве не может существовать ортогональная система векторов, содержащая больше, чем векторов.

Теорема Пифагора.

Рассмотрим два ортогональных вектора в унитарном пространстве. Возьмем квадрат нормы их суммы:

,

. ЧТД.

Очевидно, что теорема Пифагора легко обобщается для любого числа слагаемых векторов. Пусть , , …, : , . Тогда:

.