Введение в математический язык

§ В.1. Общие понятия

Высказывания – это такие предложения, о которых разумно говорить, что они являются истинными или ложными.

Примеры высказываний.

«2 х 2 = 4» - истинное высказывание.

«3 > 5» - ложное высказывание.

«Земля вращается вокруг Солнца по круговой орбите» - истинное высказывание.

«Сегодня плохая погода» - это предложение не следует относить к высказываниям в силу чрезмерной субъективности понятия «плохая погода».

Синоним слова «высказывание» - «утверждение».

Об истинных высказываниях будем говорить, что они имеют значение «истина» («и», 1, да…), а о ложных – что они имеют значение «ложь» («л», 0, нет…).

Переменными в некотором рассматриваемом выражении будем называть такие символы, вместо которых можно подставлять числа, выражения и т.п.

Объявляя букву в выражении переменной, для неё необходимо задать область значений. Например, переменная, в область значений которой входят только числа, называется числовой переменной.

Выражение, в которое входят переменные, называется формой, а выражение, не содержащее переменных – константой.

Функция. Если каким-либо образом каждому элементу х некоторого множества Х поставлен в соответствие определённый элемент y некоторого множества Y, то говорят, что имеет место отображение множества X во множество Y, или функция f, аргумент которой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y. Обозначается f: X®Y.

Переменная, в область которой входят два значения «и» и «л», называется логической (или высказывательной) переменной. Иначе говоря, область значения переменной описывается двоичным множеством В = {и,л} (или В = {1,0}).

§ В.2. Операции над высказываниями

Отрицание высказывания А обозначается ^A и означает высказывание, имеющее значение, противоположное значению А. Этой логической операции соответствует логический союз «не».

^и = л , т.е. ^A ложно, если А истинно.

^л = и , т.е. ^А истинно, если А ложно.

Конъюнкция высказываний А и В обозначается А & В и означает высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Операция конъюнкции соответствует логическому союзу «и».

и & и = и

и & л = л

л & и = л

л & л = л

Пример 1.Истинны ли следующие высказывания?

а) «2 < 3 и 4 – чётное число»;

б) «2 < 3 и 5 – чётное число».

Дизъюнкция высказываний А и В обозначается А Ú В и означает высказывание, ложное тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В. Операция конъюнкции соответствует логическому союзу «или».

и Ú и = и

и Ú л = и

л Ú и = и

л Ú л = л

Пример 2.Истинны ли следующие высказывания?

а) «3 < 2 или 4 – чётное число»;

б) «3 < 2 или 5 – чётное число».

Предикаты. Предикатом P(x₁, x₂, … x_n) называется функция Р: М®В, где М - произвольное множество, а В – двоичное множество {1,0}. Другими словами, n – местный предикат, определённый на множестве М – это двухзначная функция от n аргументов, принимаемых значения в произвольном множестве М.

Примеры предикатов.

а) х>3, хÎR

Здесь х – числовая переменная, определённая на множестве R – множестве действительных чисел. Результат выражения, в зависимости от значения х, может принимать только два значения: ложь или истина.

б) А&(х>3)

АÎВ, хÎR, где В – двухэлементное множество, R – множество действительных чисел.

Пример 3. Найти значения высказывательных форм.

а) (х < 3) & ( х > 5)

б) (х < 5) & ( х > 3)