МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ И ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМОВ И МЕТОДЫ ИХ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Напомним, что математическая модель установившегося режима (иначе — статическая характеристика элемента или системы) отражает функциональную связь между входными и выходными величинами в установившемся состоянии, а математическая модель переходного режима (динамическая характеристика элемента или системы) описывает изменение выходной величины во времени в зависимости от изменения входной величины.

Как уравнения статики, так и уравнения динамики могут быть линейными или нелинейными, в последнем случае они подлежат линеаризации.

,

где F — некоторая нелинейная функция; n, т, l — целые натуральные числа, определяющие наивысший порядок входящих в уравнение производных входной и выходной величин по времени.

Для реальных систем порядок дифференциального уравнения n > т и n > l. Линеаризацию нелинейных дифференциальных уравнений осуществляют методом малых отклонений. При этом вместо абсолютного значения переменных в уравнении (3.1) используют их отклонения от начального значения

.

В результате уравнение (3.1) становится линейным ипри одной входной величине может быть записано в виде

,

где a₀… a_n , b₀… b_m - постоянные коэффициенты.

Линеаризация уравнений статики.Уравнения статики элементов (систем) автоматического управления, как правило, нелинейные и могут быть представлены в виде кривой или ломаной линии.

Линеаризация нелинейных статических характеристик осуществляется несколькими способами.

Метод малых отклонений. Основан на разложении аналитической функции в ряд Тейлора и отбрасывании малозначащих членов.

Таким образом, линеаризованное уравнение , где ; .

Метод касательной (рис. 3.1, а). Основан на замене участка кривой прямой линией, касательной к этой кривой в точке А (х₀, у₀), называемой рабочей точкой и находящейся в середине рабочего диапазона изменения . Как и в предыдущем случае, линеаризованное уравнение , где .

Метод секущей. Основан на замене уравнения нелинейной характеристики уравнением секущей, параметры которого определяют методом наименьших квадратов.

Первый из рассмотренных методов применяют, когда статическая характеристика задана аналитически, второй и третий — графически.

Встречаются элементы автоматической СУ, статические характеристики которых не поддаются линеаризации указанными ранее методами. Эти характеристики называют существенно нелинейными.

Рис. 3.1. Линеаризация статической характеристики (а) и модель пневматической камеры (б)