Натуральные числа

Натуральные числа – это числа, которые используются при счете. C одной стороны они обозначают количество предметов: один предмет, два предмета, десять предметов и т.д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок следования: первый, второй, третий и т.д. Поэтому различают количественные числа – один, два, три, четыре …, и порядковые числа – первый, второй, третий … .

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные.

Натуральное число р, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на себя. Всякое натуральное число, отличное от 1 и не являющееся простым, называется составным.

Таким образом, все натуральные числа можно разбить на три класса: один состоит из всех простых чисел, другой – из всех составных чисел, третий – из одного числа 1, которое не является ни простым, ни составным.

В связи с большой ролью простых чисел в арифметике целых чисел особое внимание уделяется вопросам распределения простых чисел в натуральном ряду. Евклидом было доказано, что множество простых чисел бесконечно, а древнегреческому ученому Эратосфену (276-194 гг. до н. э.) принадлежит один из удобных способов выделения простых чисел в данном отрезке натурального ряда. Этот способ носит название «решето Эратосфена» и состоит в следующем.

Пусть дан отрезок натурального ряда: 1, 2, 3, …, n. Требуется выделить в нем все простые числа, а все составные зачеркнуть. Число 1 зачеркиваем, так как оно не является простым. Число 2 простое. Выделяем его, а все остальные числа, кратные 2, зачеркиваем, как составные. Первое не вычеркнутое число 3 – простое. Выделяем его и после этого зачеркиваем все остальные числа, кратные трем. Продолжаем этот процесс дальше. В общем случае, если в результате указанных рассуждений мы выделили первые rпростых чисел и зачеркнули все числа, кратные им, как составные, то следующим простым числом будет первое невыделенное и не зачеркнутое число данного отрезка.

Указанные рассуждения достаточно проводить лишь для тех простых чисел р из данного отрезка, для которых р² < n. Встретив в процессе указанных рассуждений простое число из данного отрезка, для которого р² > n, рассуждение можно заканчивать.

Для примера применим «решето Эратосфена» для выделения простых чисел на отрезке натурального ряда от 1 до 100.

Как известно, натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Однако эти операции неравноправны. Операции сложения и умножения во множестве N выполнимы, то есть при сложении и умножении натуральных чисел всегда получается число натуральное. А вот операции вычитания и деления возможны не всегда; говорят, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения и незамкнуто относительно операций вычитания и деления. Чтобы сделать возможным выполнение и этих операций потребовалось расширить множество натуральных чисел.