Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Пример 1.16. Пусть Х – множество точек отрезка [0, 1], а Y – множество точек отрезка [1, 2]. Тогда - множество точек квадрата с вершинами в точках (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1,2).




 

Операция прямого произведения легко распространяется и на большее число множеств. Прямым произведением множеств X1, Х2,..., Хr называется множество, обозначаемое X1×X2×…×Xr и состоящее из всех тех и только тех кортежей длины r, первая компонента которых принадлежит Х1, вторая Х2 и т. д. Число элементов декартового произведения r множеств равна произведению численностей всех множеств.

Приведем теперь некоторые свойства, связывающие рассмотренные выше операции над множествами с операцией декартова произведения. Дистрибутивность прямого произведения относительно объединения:

(XÈY) ´Z=(X´Z)È(Y´Z);

X´ (YÈZ)=(X´Y)È(X´Z);

дистрибутивность прямого произведения относительно пересечения:

(ХÇY) ´Z=(X´Z)Ç(Y´Z);

X´ (YÇZ)=(X´Y)Ç(X´Z);

дистрибутивность прямого произведения относительно вычитания:

(X\Y) ´Z=(X´Z)\(Y´Z);

X\(Y\Z)=(X´Y)\(X´Z).

 

1.4. СООТВЕТСТВИЯ

Определение соответствия

Рассмотрим два множества X и У. Элементы этих двух множеств могут каким-либо образом сопоставляться друг с другом, образуя пары (х, у). Если способ такого сопоставления определен, т. е. для каждого элемента х Х указан элемент у У, с которым сопоставляется элемент х, то говорят, что между множествами X и У установлено соответствие.

Соответствием между двумя множествами является любое подмножество декартового произведения этих множеств.

Соответствием между двумя множествами называется правило, по которому каждому элементу множества X выбирается (устанавливается, определяется) элемент из множества Y. При этом совершенно необязательно, чтобы в сопоставлении участвовали все элементы множеств X и У.

Для того чтобы задать соответствие, необходимо указать:

1) множество X, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества;

2) множество У, с элементами которого сопоставляются элементы первого множества;

3)множество Q X×Y, определяющее закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, т. е. перечисляющее все пары (х,у), участвующие в сопоставлении.

Если (х, у) Q, то говорят, что элемент у соответствует элементу х. Геометрически это удобно изображать стрелкой, направленной от х к у.

С каждым соответствием связаны еще два множества: первое множество, называемое областью определения соответствия, в которое входят элементы множества X, участвующие в сопоставлении, и второе множество, называемое областью значений соответствия, в которое входят элементы множества У, участвующие в сопоставлении.

Соответствие задается всеми способами, которыми задается декартово произведение двух множеств. Если соответствие задается на координатной плоскости, то область определения соответствия указывается на оси абсцисс, множество значений – оси ординат.

Если во всех парах, задающих соответствие Q, компоненты поменять местами, то получится соответствие Q-1, обратное данному соответствию.

Примеры соответствий:

  1. График дежурства учащихся на неделю (месяц). Область определения – список учащихся. Множество значений – день недели (месяца) дежурства.
  2. Таблица квадратов (кубов) натуральных чисел. Область определения – натуральные числа. Множество значений – их квадраты (кубы)
  3. Формула y=x2 +3x-7 задает соответствие между множеством действительных чисел (ось OX) – область определения и множеством действительных чисел, являющиеся значениями этой формулы (ось OY).

Композиция соответствий

Пусть заданы три множества X, Y, Z и два соответствия и .

Композицией соответствий и называется подмножество прямого произведения X×Z:

Композиция Ø, если пересечение Ø, где - область определения соответствия G2, - область значение соответствия G1.

Композицией соответствий называется последовательное применение двух соответствий.

Композиция соответствий есть операция с тремя множествами X, У и Z, на которых определены два соответствия

q = (X, Y, Q), Q X×Y;

р = (У, Z, Р), P Y×Z,

причем область значений первого соответствия совпадает с областью определения второго соответствия:

Первое соответствие определяет для любого x X некоторый, возможно и не один, элемент у У. Согласно определению операции композиции соответствий теперь нужно для найденного у У определить z Z, воспользовавшись вторым соответствием. Таким образом, композиция соответствий сопоставляет с каждым элементом х из области определения первого соответствия один или несколько элементов z из области значений второго соответствия.

Естественно, что операцию композиции можно распространить и на большее, чем два, число соответствий.

1.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ

Отображения и их свойства

С понятием соответствия непосредственно связано понятие отображения: всюду определенное соответствие называется отображением X в У, т.е. область определения соответствия равна множеству Х. Записывается как

Г:Х→Y.

Под словом «отображение» часто понимают однозначное отображение. В общем случае каждому элементу x X отображение Г ставит в соответствие некоторое подмножество

Гx ,

называемое образом элемента х. Закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, определяется множеством Г.

Поскольку отображение является частным случаем соответствия, для отображения имеют место введенные при рассмотрении соответствий понятия обратного отображения и композиции отображений.

Важным частным случаем отображения является случай, когда множества X и Y совпадают. При этом отображение Г: Х→Х будет представлять собой отображение множества X самого в себя и будет определяться парой

(X, Г),

где Г Х2. Подробным изучением таких отображений занимается теория графов, элементы которой будут рассмотрены.

Функция

Рассмотрим некоторое отображение

f:X→Y.

Это отображение называется функцией, если оно является однозначным, т. е. если для любых пар (х1, y1) f и (х2, у2) f из х21 следует у21. Из определения отображения и из приведенных ранее примеров следует, что элементами множеств X и У могут быть объекты любой природы. Наибольший интерес представляют отображения, которые являются однозначными и множество значений которых представляет собой множество вещественных чисел R. Однозначное отображение f называется функцией с вещественными значениями, если У .

Понятие функции является чрезвычайно широким, и изучению отдельных классов функций посвящены многие математические дисциплины (алгебра, тригонометрия и т. п.). Мы рассмотрим только некоторые общие наиболее фундаментальные свойства функции, не касаясь свойств конкретных классов функций.

Пример 1.17. Из данного города в другой можно проехать по железной дороге, автобусом или самолетом. Стоимость билета будет соответственно 7, 9 и 12 тыс. руб. Стоимость билета в этом примере можно представить как функцию от вида транспорта. Для этого рассмотрим множества

Х = {ж. д., авт., сам.}; К={7, 9, 12}.

Функция f: X→Y, получаемая из условий примера, может быть записана в виде множества f={(ж. д., 7), (авт., 9), (сам., 12)}.

Значение у в любой из пар (х, у) f называется функцией от данного х, что записывается в виде y=f(x). Такая запись позволяет вести следующее формальное определение функции:

f = {(x, у) X×Y|y = f(x)},

Таким образом, символ f используется при определении функции в двух смыслах:

1) f является множеством, элементами которого являются пары (х, у), участвующие в соответствии;

2) f(x) является обозначением для у У, соответствующего данному х Х.

Формальное определение функции позволяет установить способы задания функции.

1. Перечисление всех пар (х, у), составляющих множество f (пример 1.17). Такой способ задания функции применим, если X является конечным множеством. Для большей наглядности пары (x, y) удобно располагать в виде таблицы.

2. Во многих случаях как X, так и У представляют собой множества вещественных или комплексных чисел. В таких случаях очень часто под f(x) понимается формула, т. е. выражение, содержащее перечень математических операций (сложение, вычитание, деление, логарифмирование и т. п.), которые нужно произвести над x X, чтобы получить у.

Пример 1.18. Пусть X=Y=R и f = {(x, у) R2|y=x2}. Тогдаf(x)=x2.

Иногда для разных подмножеств множества X функции приходится пользоваться различными формулами. Пусть А1, , Ап — попарно непересекающиеся подмножества X. Обозначим через fi(x), i=1, ,n формулу, определяющую у при х Ai. Тогда функция f(x) будет определяться выражением

Так, функцию y = f(x) = |x| можно задать в виде

3. Если X и У — множества вещественных чисел, то элементы (х, у) f можно изобразить в виде точек на плоскости R2. Полная совокупность таких точек будет представлять собой график функции f(x).

Если X=U×V, то приходим к функции от двух переменных и и v, обозначаемой через f(u, v), где и U и v V. Формальное определение функции двух вещественных переменных будет следующим:

.

Аналогично определяются функции от трех и большего числа переменных.

Обратная функция

Понятие обратной функции применимо для такого отображения f:X→Y, которое, во-первых, является однозначным, т. е. для любых (х1, у1) f и (х2, у2) f из х2 = x1 следует у2 = у1, и, во-вторых, является взаимооднозначным, т. е. из х2≠x1 следует у2≠y1. При выполнении этих условий отображение f:X→Y является однозначным, т. е. определяет функцию y=f(x). Обратное отображение f-1:Y→X также является однозначным и определяет функцию x=f-1(y), называемую обратной по отношению к функции y=f(x).

При аналитическом задании функции f принято аргумент как прямой, так и обратной функции обозначать одной и той же буквой, например х. Поэтому для нахождения обратной функции следует уравнение y=f(x) разрешить относительно х и поменять обозначения, заменив х на у и у на х. При этом обратная функция запишется в виде y=f-1(х).

Функция времени

В основе понятия функции времени лежит множество Т R с элементами t, называемое множеством моментов времени. Время обладает той характерной особенностью, что имеет направление. Это означает, что если t1, t2 T и t1<t2, то момент t1 предшествует моменту t2. Другими словами, Т — упорядоченное множество.

Функция времени определяет отображение f множества моментов времени Т на множество вещественных чисел R:

f:T→R.

Элементами f будут пары (t, х), обозначаемые также через x(t), где t T, x R. Каждая такая пара определяет значение функции в момент t и называется событием или мгновенным значением функции. Полная совокупность пар (t, х), т. е. значений x(t) для всех t Т, и представляет собой функцию времени. Дальнейшее уточнение функции времени связано с уточнением ее области определения, т. е. вида множества Т.

Если T=R, т. е. t может принимать любое вещественное значение от — ∞ до +∞, то функция x(t) называется функцией с непрерывным временем. Примером может служить синусоидальная функция времени x(t) = Asin(wt+φ)), описывающая напряжение в сети переменного тока.

Обычно не интересуют весьма удаленные моменты времени как в прошлом, так и в будущем. Поэтому производят сужение x(t) на ограниченный интервал t1< t ≤t2, который обычно считают полузакрытым интервалом и обозначают (t1, t2]. Полузакрытые интервалы времени удобны тем, что допускают последовательное сочленение друг с другом. Так, если интервал (t1, t2] разбить моментом t' на два интервала (t1, t'] и (t', t2], то не будет сомнений, к какому интервалу отнести t'.

Сужение функции x(t), заданной на интервале —∞<t<∞, на интервал (t1, t2] называется отрезком функции x(t) и обозначается . Итак, по определению

,

Для осуществления операции сужения часто используют специальную функцию времени, называемую единичной функцией или единичным скачком:

приведенную на рис. 1.9,а.

Рис. 1.9. Единичный скачок и импульсная функция

Так, напряжение, подаваемое на вход прибора, подключаемого к сети в момент t = λ, будет равно:

u(t) = 1(t-λ)х(t) = 1(t-λ)Asin (wt+φ).

Другой широко используемой функцией времени является импульсная функция δ(t-λ), определяемая соотношениями:

Функцию δ(t-λ) можно рассматривать как предельный случай приведенного на рис. 1.9,б прямоугольного импульса шириной Δt и высотой 1/Δt, появляющегося в момент t=λ при Δt→0.

Импульсная функция позволяет выделять мгновенные значения функции x(t) для фиксированных моментов времени. Так, если t1<λ<t2, то

.

 

Если множество Т представляет собой множество натуральных чисел

... , -2, -1, 0, 1, 2, …, п, ... ,

то говорят о функции с дискретным временем. В этом, случае элементы множества Т обозначают через п, так что пара (п,.х), обозначаемая также х[п] или хп, определяет значение функции в момент п. На рис. 1.10 приведен пример функции с дискретным временем.

Рис. 1.10. Функция с дискретным временем

Понятие функционала

Говоря об отображении f:X→Y как о функции с вещественными значениями, мы не накладывали на характер элементов множества X каких-либо особых ограничений. В простейших задачах множество X, как и множество Y, представляет собой множество вещественных чисел. В этом случае каждая пара {х, у) f ставит в соответствие одному вещественному числу х другое вещественное число у. Однако важным для практики является случай, когда множество X представляет собой множество функций, а множество У — множество вещественных чисел. Этот случай приводит к понятию функционала, подробное рассмотрение которого удобно провести на примере.

Представим себе некоторую линию y=f(x), соединяющую фиксированные точки А и В, как показано на рис. 1.11, по которой скатывается свободно движущийся шарик.

Рис. 1.11. Линия спуска.

Обозначим через t время, которое шарик затратит на перемещение из точки А в точку В. Это время зависит от характера линии АВ, т. е. от вида функции f(х) Если обозначить через F(x)множество различных функций, изображающих линию АВ, а через Т множество вещественных чисел t, определяющих время движения шарика, то зависимость времени движения от вида функции может быть записана как отображение

J:F(x)→T.

Элементами множества J будут пары (f(x), t), в которых f(x) F(x), a t Т. В этом случае говорят, что вещественное число t T представляет собой функционал J от функции f(x) F(x), записывают это в виде

t = J[f(x)].

В задачах управления функционалы используются как критерии качества управления. Так, в рассмотренном примере время перемещения шарика из точки А в точку В можно трактовать как критерий «качества» выбранной функции f(x). При этом говорят об оптимальном управлении как о таком, при котором соответствующий критерий качества обращается в минимум. С этой точки зрения определение «оптимального» вида функции f(x) сводится к выполнению условия

,

при котором время t будет минимальным.

Понятие оператора

Оператором L называется отображение

L:X→Y,

в котором множества X и Y являются множествами функций с элементами x(t) и y(t), так что элементами множества L будут пары (x(t), y(t)). В этом случае говорят, что оператор L преобразует функцию x(t) в функцию y(t), и пишут:

y{t) = L[x(t)].

Примером оператора служит оператор дифференцирования р, ставящий в соответствие функции f(х) другую функцию f'(x)=df(x)/dx, что может быть записано в виде

f'(x) = p[f(x)].

В задачах управления роль оператора часто выполняет сама управляющая система, преобразующая по некоторому закону L входной сигнал x(t) в выходной сигнал y(t), как это показано на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Представление управляющей системы в виде оператора.

1.6. ОТНОШЕНИЯ

Термин «отношение» используется для обозначения некоторых видов отображений, заданных на одном и том же множестве.

Если Г – есть отношение и пара (x, y) принадлежит этому отношению, т.е. элемент y находится в отношении Г к элементу х, то вместо записи (x,y) Гупотребляется запись уГх.

Элементы х и у называются координатами (или компонентами) отношения Г.

Пример 1.19. ПустьX — множество людей. Для каждого человека х Х и y X отношение yГх – множество его детей (символ Г означает отношение «быть детьми данного человека»).

Для отображения, заданного на одном множестве, отношение есть пара множеств (X, Г), в которой Г Х2. Поскольку элементами множества X2 являются упорядоченные пары, то можно сказать, что отношение есть множество упорядоченных пар. Так как каждая пара связывает между собой только два элемента множества X2, то такое отношение называют бинарным.

Можно ввести более общее понятие отношения, называя отношением пару множества (X, Г), где Г Xn. Элементами множества Хп являются упорядоченные n-ки, что позволяет назвать данное отношение п-арным. В частности, множество упорядоченных троек может быть названо тернарным отношением. В дальнейшем, не оговаривая этого особо, под термином «отношение» будем иметь в виду бинарное отношение.

Примеры отношений

1. На множестве людей отношения:”Человек s знаком с человеком d”, “Быть выше по росту”, “Иметь один цвет глаз” и др.

2. На множестве натуральных чисел отношение “Число m больше числа n”

3. На множестве треугольников отношение “Треугольник r и треугольник l имеют равные углы (стороны)


Поделиться:

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 220; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты