Тема №1. Множества. Виды множеств. Действия над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

Определение. Множество – совокупность элементов, удовлетворяющая следующим условиям:

• каждый элемент уникален, т. е. отличим от других;

• для любого объекта существует возможность установить, принадлежит ли он множеству или нет.

Обозначения. а А – элемент a принадлежит множеству А; а А –элемент a не принадлежит множеству А.

Для некоторых числовых множеств используются устоявшиеся специальные обозначения: N – множество натуральных чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных (вещественных) чисел, С – множество комплексных чисел.

Способы задания множеств:

1. Словесное. Например, М – множество корней уравнения .

2. Перечисление всех элементов множества. Например, . Элементы множества перечисляются через запятую и заключаются в фигурные скобки.

3. Указания свойства, общего для всех элементов. Например, . Символ | заменяет фразу “таких, что”.

Определение	Обозначение	Пример	Диаграмма	Замечание
Множество А является подмножеством множества В, есливсе его элементы принадлежат В.		А – множество целых чисел, кратных 6, В – множество четных целых чисел.	В   А	Подмножество всегда содержит меньше элементов, чем само множество.
Множества А и В равны, если они содержат одни и те же элементы.	А = В	А – множество решений уравнения , В – множество целых чисел, не превосходящих по модулю 1.		Равенство множеств А и В будет тогда, когда и
Для множества A множество B называется дополнением A, если в B включены те и только те элементы, которые не принадлежат A.	В =	А – множество четных чисел, - множество нечетных чисел.	Заштрихован- ная область обозначает множество	Эту операцию ещё называют НЕ, т.е. говорят B равно НЕ А.
Предполагается, что дополнение происходит до некоторого универсального множества (универсума), определяемого предметной областью задачи.	Универсальное множество обозначается буквой U.	Универсальным множеством может быть множество натуральных чисел и для него можно рассматривать множества чисел, кратных 3, или множество двузначных чисел и т.д.	U A	Любое множество является подмножеством универсального множества.
Множество M называется упорядоченным, если между его элементами установлено отношение a < b.	Индекс у элемента показывает номер места, которое этот элемент занимает.	Множество натуральных чисел можно упорядочить, например, записать все натуральные числа в порядке возрастания.		Пустое множество считается упорядоченным.   Два упорядоченных множества, составленные из одних и тех же элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различными.
Счётное множество – это бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать натуральными числами.		Множество целых чисел счетное, т.к., например, все целые положительные числа можно занумеровать четными натуральными числами, а все отрицательные целые числа можно занумеровать нечетными натуральными числами.
Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента.		Множество действительных корней уравнения .

Действия (операции) над множествами.

Определение	Обозначение	Диаграмма	Пример
Пересечение двух множеств – это новое множество, элементы которого принадлежат каждому из данных множеств.	С = А ∩В, если С =		Пусть даны множества   Тогда получим: А ∩В= А∪В= А\B = B\A =
Объединение двух множеств – это новое множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из данных множеств.	С = А∪В, если С =
Разность двух множеств – это новое множество, элементы которого принадлежат первому множеству и не принадлежат второму.	C = A\B, если С =   А\B B\A
Декартовое (прямое) изведение двух множеств – это новое множество, элементами которого являются все возможные пары, в которых на первом месте стоит элемент первого множества, а на втором – элемент второго множества.	, если С =

Задания для самостоятельной работы

1. Покажите на рисунках в таблице области, соответствующие объединению, пересечению, разности двух множеств.
2. Придумайте 2-3 примера на каждое определение и операцию.
3. Выучите данный теоретический материал и подготовьтесь к диктанту по этой теме, который будет проведен на следующем занятии.