ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ

1. Цель работы

Познакомиться с одним из вариантов моделирования физических процессов в лабораторных условиях. Используя метод моделирования, построить систему силовых и эквипотенциальных линий электростатического поля между двумя заряженными проводниками. Анализируя характер полученного графического изображения поля, дать его качественное описание и рассмотреть основные свойства. Научиться рассчитывать напряженность электростатического поля, используя взаимосвязь между векторным полем напряженности и скалярным полем потенциала. Приобрести умение прогнозировать характер линий поля от систем заряженных тел в простейших случаях.

2. Подготовка к работе

При подготовке к работе необходимо изучить теоретический материал по лекциям или учебнику [1-3]: основные свойства электрического поля в вакууме, проводники в электрическом поле. Ознакомьтесь с конструкцией лабораторного стенда и принципом измерений по методическому описанию. Ответьте на вопросы из раздела 4 данного описания. Подготовьте конспект для допуска к лабораторной работе, включающий рабочие формулы, схемы и подготовленные к заполнению таблицы. Потренируйтесь отвечать на вопросы обучающего и контрольного тестов на CD.

3. Краткая теория

Электрический заряд является характеристикой некоторых элементарных частиц и при их накоплении приводит к электризации тел. Имеются два вида электрических зарядов, условно называемых положительными и отрицательными. Для суммарного электрического заряда изолированной системы выполняется закон сохранения. Существует минимальная порция электрического заряда, называемая элементарным зарядом. Величина заряда объекта инвариантна по отношению к смене инерциальной системы отсчета. Электростатическое поле порождается неподвижными электрическими зарядами и осуществляет взаимодействие между ними. Наличие электрического поля проявляется в том, что на точечный электрический заряд q действует сила , не зависящая от скорости заряда. Характеристикой электрического поля является векторная величина

,(1)

называемая напряженностью и численно равная силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля. Согласно закону Кулона сила взаимодействия между точечными зарядами q₂ и q₁ (рис. 1) равна

,(2)

где q₁ и q₂ – величины взаимодействующих точечных зарядов, r –- расстояние между зарядами, e_о = 8,85·10^-12 Ф/м – электрическая постоянная в СИ, -единичный вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2.

Это взаимодействие осуществляется посредством электрического поля. На заряд q₂ действует электрическое поле заряда q₁ (рис. 2) с напряженностью

, (3)

соответственно на заряд q₁ действует электрическое поле заряда q₂.

Для вектора напряженности справедлив принцип суперпозиции, согласно которому результирующая напряженность электрического поля системы зарядов в некоторой точке равна векторной сумме напряженностей всех зарядов системы

. (4)

где – напряженность поля, создаваемая в данной точке зарядом с номером i.

а) +3q и –3q, б) +2q и –q,

Рис. 3

Электрическое поле можно наглядно представить с помощью линий напряженности. На рис. 3 приведены картины линий напряженности (со стрелками направлений) в простейших случаях. Линии напряженности непрерывны, могут начинаться или заканчиваться только на зарядах или в бесконечности. Касательные к ним совпадают с направлением напряженности поля в точке касания. Густота линий качественно характеризует величину напряженности.

При расчете электрического поля, создаваемого протяженным телом с зарядом Q, необходимо записать формулу (4) в интегральной форме

_. (5)

Электростатическое поле потенциально. На расстоянии r от точечного заряда q величина потенциала поля находится по формуле

j = . (6)

Принцип суперпозиции для электрического поля позволяет суммировать и потенциалы j_i, создаваемые точечными зарядами в некоторой точке

j = j₁ + j₂ + j₃ + ....+ j_N = (7)

или интегрировать потенциалы элементарных зарядов dq

. (8)

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Пересечение эквипотенциальных поверхностей с плоскостью рисунка 3 дает эквипотенциальные линии. Между напряженностью и потенциалом электрического поля имеется взаимосвязь

. (9)

Расчет электрического поля заряженных тел сложной формы по формулам (5) и (8) обычно является сложной задачей. При этом приходится учитывать как форму тела, так и распределение заряда по нему. В проводниках носители заряда (в металлах это электроны) могут перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Для их равновесия на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

1. Напряженность поля внутри проводника должна быть равна нулю .

2. Потенциал поля во всех точках проводника должен быть постоянным φ = const.

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной и напряженность поля в каждой точке поверхности проводника направлена по нормали к ней .

3. Напряженность поля вблизи поверхности проводника связана с поверхностной плотностью свободных зарядов σ на рассматриваемом участке формулой

, (10)

где ε – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник (для воды e = 81).

4. Вопросы для подготовки к допуску к лабораторной работе

1. Опишите свойства электрического заряда.

2. Дайте определение вектора напряженности электрического поля.

3. Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей.

4. Дайте определение потенциала поля в данной точке.

5. Какова взаимосвязь между напряженностью поля и его потенциалом?

6. Сформулируйте условия равновесия зарядов в проводнике.

7. Перечислите свойства электростатического поля вблизи поверхности и внутри проводников.

8. Какова связь между напряженностью поля вблизи поверхности проводника и поверхностной плотностью зарядов?

9. Покажите, что следующие определения потенциального поля эквивалентны:

а) поле, в котором работа не зависит от траектории перемещения и определяется только начальной и конечной точками траектории;

б) поле, в котором работа по замкнутой траектории равна нулю.

10. Воспользовавшись законом Кулона, выведите формулу для потенциала поля точечного заряда.

11. Поясните принцип измерения потенциала в некоторой точке между электродами.

12. Опишите графический способ задания электростатического поля с помощью линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей.

13. Нарисуйте приблизительную картину линий напряженности и эквипотенциальных линий заряженных тел: а) сферы; б) куба; в) конуса; r) эллипса.

5. Литература

I. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 2. М.: Наука, 1998 г.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т. I. М.: Наука, 1989 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990 г.

6. Методика проведения эксперимента и описание установки

В данной лабораторной работе требуется описать электростатическое поле между двумя заряженными проводниками, т.е. определить зависимость и . Из-за сложности конфигурации используемых проводников аналитическое решение данной задачи невозможно. Поэтому в лабораторной работе используется графический способ описания поля в виде семейств эквипотенциальных и силовых линий. Для их построения необходимо экспериментально определить либо значения потенциалов в различных точках исследуемой области, либо значения напряженности. Технически проще, измеряя потенциалы, построить эквипотенциальные линии (пересечения эквипотенциальных поверхностей с плоскостью рисунка), а затем по известной картине эквипотенциальных линий построить линии проекций напряженности поля на эту плоскость.

На рис. 4 приведена принципиальная схема измерения потенциала электростатического поля между заряженными телами с помощью зонда. Зондом в данном случае является электрод, который помещается в исследуемую точку пространства.

По показаниям вольтметра определяется разность потенциалов между зондом и одним из электродов, потенциал которого принимается за нулевой. Естественно, что зонд должен как можно меньше нарушать своим присутствием исследуемое поле и принимать потенциал той точки, в которую он помещен. Но в непроводящей среде, например, в воздухе, не может происходить автоматическое выравнивание потенциала точки поля и введенного в нее зонда. Для обеспечения выравнивания необходимо стекание зарядов с зонда.

Чтобы избежать этих трудностей, в лабораторной работе применен широко известный в науке и технике метод моделирования. Вместо изучаемого объекта – электрического поля в диэлектрической среде исследуется поле стационарных токов в слабопроводящей жидкости. Для этого в лабораторной установке заряженные тела опускаются в обычную воду, которая является слабым электролитом (рис. 5). В исследуемой области возникает поток зарядов от одного тела к другому, т.е. электрический ток. Чтобы этот ток был стационарным, необходимо поддерживать исходные величины зарядов на телах, что соответствует неизменной разности потенциалов между ними. Для выполнения этого условия достаточно соединить тела с источником постоянного напряжения U.

Эквивалентность замены электростатического поля между электродами на поле постоянного тока в слабопроводящей среде можно обосновать математически. Оказывается, в обоих случаях потенциальные функции являются решением одного и того же дифференциального уравнения. Одинаковость дифференциального уравнения и граничных условий (формы электродов и их потенциалов) означает, что поля потенциалов в обоих случаях тождественны. Соответственно тождественными являются и поля напряженности.

Таким образом, для слабых токов в электролитах направление линий тока совпадает с направлением линий напряженности. При моделировании это дает возможность сопоставить силовым линиям электростатического поля линии тока. С технической же точки зрения переход к модели оправдан тем, что в этом случае измерение разности потенциалов осуществить значительно проще.

Из изложенного выше вытекает, что используемое моделирование не только избавляет от технических трудностей в лаборатории, но и позволяет исследовать недоступные ситуации. В частности, с его помощью можно моделировать процессы электрического взаимодействия самолета с атмосферным электричеством.

В лабораторной установке (рис. 5) зондом служит металлический проводник 3 с острием, опущенным в воду. Вольтметр V подключен к одному из электродов и к зонду. Помещая острие зонда в заданную точку поля, по показаниям вольтметра определяют потенциал этой точки, а по координатным линейкам — ее координаты (x,y). Точки с одинаковым значением потенциала наносятся на миллиметровую бумагу, и по ним проводятся эквипотенциальные линии. По известной картине эквипотенциальных линий можно построить линии напряженности. При этом используется взаимосвязь напряженности поля и потенциала φ, выражаемая уравнениями (9). Как известно из курса математики, линии напряженности должны быть ортогональны эквипотенциальным линиям. Для расчета численных значений напряженности можно воспользоваться тем, что

, (11)

где l – расстояние вдоль выбранной линии напряженности. Построив вдоль выбранной силовой линии график изменения потенциала φ = φ(l), производят его графическое дифференцирование (определяют отношение для небольших отрезков кривой φ(l)) и определяют значение проекции напряженности на плоскость рисунка (z = 0) в средних точках этих отрезков.

7. Порядок выполнения работы

Внимание! Включение установки производится лаборантом. Питание осуществляется от источника постоянного напряжения. Величину напряжения между электродами устанавливает лаборант в соответствии с пределом шкалы измерительного прибора (U = 20 – 30 В). Потенциал одного из электродов принимается за 0, потенциал второго φ_max равен величине установленного напряжения. Перед измерениями рекомендуется выждать 3 – 5 минут для стабилизации электрической цепи. Для построения семейства эквипотенциальных линий удобно действовать следующим образом:

· Установите значение между соседними эквипотенциалями (в диапазоне от 0 до φ_max должно быть примерно 10 эквипотенциалей);

· зафиксируйте положение зонда 3 относительно передвижной координатной линейки 4, вставив зонд в одно из ее отверстий (для начала в крайнее положение);

· перемещая линейку 4 по направляющим пазам кюветы, найдите по линейке 5 координату нулевой эквипотенциали x₀при нулевом показании вольтметра φ = 0. Соответствующее значение запишите в таблицу 1 (*);

· перемещая линейку 4 (оставив зонд в том же отверстии), определите по линейке 5 координату x₁ эквипотенциали с (*);

· произведите измерения координат остальных эквипотенциалей с при фиксированном значении y₀ = 0 см и заполните первый столбец в таблице 1 (*);

· аналогичные измерения проведите при других значениях координаты y с шагом, соответствующим расстоянию между соседними отверстиями на передвижной линейке 4, охватывая всю рабочую зону кюветы. Заполните таблицу 1.

* – Для отдельных значений y такая точка отсутствует. В этом случае необходимо перейти к следующему пункту.

Таблица 1

** – φ_max соответствует разности потенциалов между электродами.

8. Оформление отчёта

1. По данным таблицы 1 нанесите на миллиметровую бумагу точки, соответствующие одной из эквипотенциалей. Соединив их плавнойлинией постройте эквипотенциальную линию. Аналогично постройте остальные эквипотенциальные линии. Для построения линий напряженности рекомендуется, выбрав эквипотенциальную линию со средним значением потенциала (≈ 12 В), разбейте ее на 5-7 участков примерно равной длины. Из середин каждого такого участка проведите к обоим электродам линии напряженности, руководствуясь свойством ортогональности линий напряженности и эквипотенциальных линий.

2. Анализируя полученную картину линий напряженности и эквипотенциальных линий, определите участок вблизи электрода 1 с наибольшей густотой линий напряженности. Выберите одну из этих линий напряженности для дальнейших расчетов.

3. Измерьте расстояния ∆l_n,n-1 между соседними эквипотенциальными линиями (с φ_n и φ_n-1) вдоль выбранной линии напряженности (считая эти участки прямыми линиями). Полученные результаты занесите в таблицу 2.

4. Суммируя полученные значения ∆l_n,n-1, рассчитайте расстояния l_n от эквипотенциальной линии с φ₀ = 0 до линии с φ_n, соответствующие длине линии напряженности между этими эквипотенциалями. Полученные результаты занесите в таблицу 2.

Таблица 2

5. По данным таблицы 2 постройте график зависимости потенциала φ от расстояния l вдоль выбранной линии напряженности.

6. Рассчитайте значения напряженности для средних точек каждого участка ∆l_n,n-1по формуле

.

Полученные результаты занесите в таблицу 2.

7. Постройте график зависимости величины напряженности поля от расстояния l вдоль выбранной линии напряженности, учитывая, что значения E_ср.n,n-1 соответствуют средним точкам участков ∆l_n,n-1. Найдите наибольшее значение напряженности.

8. Оцените плотность поверхностных зарядов на электроде 1 в областях выхода выбранных линий напряженности по формуле (10).

9. По полученным результатам сделайте выводы, в которых:

а) объясните закономерности в полученной картине линий поля;

б) определите области на электродах, в которых наиболее вероятно возникновение электрического разряда;

в) опишите приблизительную картину распределения зарядов на электродах;

г) проанализируйте построенные графики.