Второе правило Лопиталя

Если существует предел отношения бесконечно больших в точке функций: , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел должен существовать

Опять же, в различных практических примерах значение может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость .

Пример:

1)

Используем второе правило Лопиталя:

Однако для проверка данным способом будет весьма муторна. Тут придётся использовать правило Лопиталя три раза подряд (экспериментаторы могут попробовать). На самом деле ответ лежит на поверхности и почти мгновенно определяется устно.

2) Вычислить предел

Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя:

3) Вычислить предел

В целях устранения неопределённости , используем правило Лопиталя, причём, два раза подряд: