Интерполяционный многочлен

Задача построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения, называется задачей интерполяции. Решение задачи интерполяции называют интерполяционным многочленом.

Пусть требуется построить многочлен, который в точках a₁,…,a_n (n>1) принимает значения y₁,…,y_n. Положим w(x)=(x-a₁)…(x-a_n) и . Легко убедится в справедливости равенств w_i(a_j)=0 при . Следовательно, многочлен принимает в точках a₁,…,a_n значения y₁,…,y_n. Существует единственный интерполяционный многочлен степени не превосходящий n-1, который принимает в точках a₁,…,a_n значения y₁,…,y_n.. Следовательно, - интерполяционный многочлен. Представление интерполяционного многочлена в указанном виде называют формой Лагранжа.

Пусть f(x) – произвольный многочлен. Под разностью первого порядка будем понимать . Индукцией определим разность порядка k . Нетрудно проверить следующее выражение разности порядка k . Из полученной формулы вытекает независимость разности от порядка, в котором расположены ее аргументы.

Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n k. Если n<k, то разность порядка k равна нулю. Из определения разности порядка k выводим равенство, позволяющее выразить многочлен через соответствующие разности . При решении задачи интерполяции , и, значит, получаем представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона .