Свойство Архимеда.

Свойство Архимеда для вещественных чисел состоит в следующем.

Теорема. " аÎ R $ n Î Z: n > a ³ n – 1, т.е. множество Z – неограниченно сверху и снизу.

Доказательство. Докажем левое неравенство. Предположим, что множество Z ограниченно сверху. Тогда по теореме (п. 5.2) существует supZ = a. По свойству 2) утверждения 1 $n₀ Î Z: n₀ > a - 1. Но тогда n₀ + 1 > a, причем (n₀ + 1) Î Z. Это противоречит предположению. Следовательно, свойство Архимеда верно.

Следствие. " а, b Î R( a > 0) $n Î Z: na > b ³ (n – 1)a.

Действительно, достаточно взять , что возможно по доказанной теореме.

С геометрической точки зрения утверждение следствия означает, что каковы бы ни были отрезки длин а и b, a < b, первый отрезок укладывается во втором конечное число раз.

Если в теореме всюду операцию сложения заменить умножением, то получим другой вариант свойства Архимеда.

Теорема 1. Если a > 1 и y > 0, то $ n Î Z: a^{n – 1} £ y < aⁿ.

Вставка.

Вопросы и упражнения.

1)Покажите, что в любом ограниченном сверху подмножестве множества N найдется наибольший элемент.

2)Покажите, что "e > 0 $ n Î N: . Сделайте отсюда вывод, что .

3)Докажите теорему 1.