Функция. Композиция функций

Определение 64.Бинарное отношение R, определенное на некотором множестве, называется функцией f, есликаждому значению x отношения xfy соответствует лишь одно значение.

То есть если из и следует, что . Поскольку каждому значению x в выражениях xfy и xfz соответствует одно и то же значение, то y и z совпадут, окажутся одними и теми же.

Функциональное отношение однозначно, поскольку каждому значению x отношения xfy соответствует лишь одно-единственное значение y такое, что , но не наоборот. .

Определение 65.Бинарное отношение f, определенное на некотором множестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у, и каждому значению у соответствует единственное значение х называется биекцией (одно-однозначное отношение).

Определение 66. Функция f , для которой из равенства f(x) = f(y) следует, что x = y , называется взаимнооднозначной функцией.

Если f – взаимнооднозначная функция, то обратное отношение тоже является функцией.

Например, – взаимнооднозначная функция, – не является взаимнооднозначной.

Определение 67. f отображает множество X на множество Y, если f – функция с областью определения Х и множеством значений Y.

Определение 68.Всюду определенной функцией от n аргументов f(x₁, x₂,…, x_n) на множестве Х называется всякая функция, у которой область определения совпадает с Xⁿ. Частичной функцией от n аргументов на множестве Х называется всякая функция, областью определения которой служит какое-нибудь подмножество Xⁿ.

Например, обычное деление – частичная функция от двух аргументов на множестве целых чисел (т.к. на нуль делить нельзя).

Определение 69. Бинарной или двуместной операцией на множестве Х называется отображение f такое что , которое каждой упорядоченной паре элементов (x, y), принадлежащей , называемых операндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества, называемый результатом. Операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат.

Определение 70.n- местной операцией или операцией с n аргументами на множестве Х называется функция, отображающая Xⁿ в Х.

Например, обычное сложение – бинарная (двуместная) операция на множестве натуральных чисел; обычное вычитание – бинарная операция на множестве вещественных целых чисел, но оно не является бинарное операцией на множестве натуральных чисел (2 – 5 <0).

Определение 71. Если f и g – функции, то композиция этих функций есть такая функция, что справедливо равенство: , причем определена тогда и только тогда, когда определены функции и .