Сравнение множеств

Определение. Говорят, что множество Aсодержитсяво множестве B (А – подмножество B, А включено в B, В содержит/включает A), если всякий элемент множества A принадлежит и множеству В. В этом случае пишут: . Таким образом, Û

Можно сказать иначе: если , то .

Одновременно верно и такое утверждение: если и , то , ведь в противном случае обязан принадлежать . Значит, можно записать: если , то .

Определение. Говорят, что множество A естьсобственноеподмножество множества B (В строго включает А) и пишут A В, если и В А.

Таким образом, A В Û и

Определение. Если (A В), то множества А и В называются сравнимыми между собой.

Ясно, что

· A для всякого множества A;

· Если и , то ; ( и , то ).

Исходя из определения подмножества, опишем необходимые и достаточные условия того, что множество А не является подмножеством множества В (обозначение: А Ë В).

Именно, АËВ Û Во множестве А должен существовать хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству В.

Утверждение. для всякого множества А.

Доказательство. Пусть . Тогда . Но данное условие противоречиво, пустое множество не содержит элементов.

Пример. Пусть В = {1, {2}, {1}, {2, 3}, {1, 3}} и А₁ = {1, 2};

А₂ = {1, {1}}; А₃ = {2, 3}; А₄ = {{2, 3}}; А₅ = {1, {2, 3}, {1, 3}};

А₆ = {1, Æ}; А₇ = {{2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; А₈ = Æ.

Тогда А₁ Ë В (2 Ï В); А₂ Í В; А₃ Ë В (2 Ï В и 3 Ï В); А₄ Í В; А₅ Í В; А₆ Ë В (Æ Ï В); А₇ Ë В ({1, 2, 3} Ï В); А₈ Í В.

Определение. Булеаном множества А (обозначается 2^А) называется семейство всех подмножеств данного множества А.

Значит, 2^А={B|B A}. В частности, и