КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Операции над множествами. Определение 1. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементовОпределение 1. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств. Еще будем писать так: . В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или. Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если , то элемент принадлежит объединению множества со всяким другим множеством . Будем писать: . Что же означает условие ? Из определения операции объединения следует, что если , этот элемент не может входить ни в одно из данных двух множеств, то есть Пример. Пусть . Тогда Пусть . Тогда Определение. Пересечением (или , или АВ) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам. По-другому: . Но если , он не принадлежит и пересечению с любым другим множеством. Будем писать: . В устной или письменной речи операции пересечения соответствует союз и. Таким образом, чтобы элемент не принадлежал пересечению , необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е. Пример. , . Тогда , . Тогда Определение. Два множества называются непересекающимися, если АВ= . Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Иная запись: . Из этого определения следует, что тогда и только тогда, когда или . Итак, . Пример. , . Тогда , . Тогда Æ, Итак, если , то так как во множестве А нет ни одного элемента, который не ходил бы в множество В. Обратно, если , так как каждый элемент множества А принадлежит и В. Определение. Симметрической разностью А В (или АÅВ)множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств Или так: . Но тогда . Пример. Тогда , . Тогда Таким образом, Определение. Дополнением множества А доуниверсума U называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А. Иная запись: . В устной речи операции дополнения соответствует частица не. Пример. , . Тогда Таким образом, Утверждение. Доказательство. Докажем, что множества и состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что А = В Û А Í В и В Í А (множества А и В состоят из одних и тех же элементов). а. Пусть б. Пусть
|