Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Принцип Кантора




Примеры числовых множеств: отрезок, интервал, полуинтервал, луч, прямая, пустое множество, N, Q и т.п. Из множеств можно образовывать системы множеств. Например, , .

 

Утверждение Для системы интервалов не существует точки, общей для всех интервалов, т.е. Ø.

 

Доказательство. Допустим, существует общая точка. Это число не может быть отрицательным. Это и не ноль. Допустим, существует число . По следствию 1 из принципа Архимеда, . Но тогда . Противоречие. ■

 

Пусть имеется система множеств . Если , т.е. , то эта система называется системой вложенных множеств.

 

Принцип Кантора Для любой системы вложенных отрезков существует точка, общая для всех отрезков, т.е. . Если, кроме того, система отрезков такова, что существует отрезок, длина которого меньше , то точка с – единственная.

 

Доказательство. Пусть .

Рассмотрим два множества: и (А – левые концы , В – правые концы ). Нетрудно доказать (от противного), что (иначе бы , и они бы не пересекались). Значит, по аксиоме полноты, , в том числе и для случая тоже.

Значит, , .

Допустим теперь, , общие для всех отрезков. Пусть . Возьмем в качестве . Тогда существует отрезок длины меньше . Так как и , то длина равна . Но, по построению, длина меньше . Противоречие. ■

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 70; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты