Дифференциал функции. Пусть функции определена в некоторой окрестности точки .

Пусть функции определена в некоторой окрестности точки .

О. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке представимо в виде:

,

где А – постоянная, не зависящая от (но зависящая от ), а функция при .

Слагаемое называется дифференциалом функции в точке и обозначается или . Дифференциал – это главное линейная часть приращения функции. Тогда , .

Теорема Функция дифференцируема в точке тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом

.

Доказательство.

Необходимость. Если дифференцируема в точке , то приращение функции в точке представимо в виде:

.

Отсюда , где при .

Следовательно, при существует и .

Достаточность. Если , то .

Следовательно, .■

Обычно обозначают и пишут .

Механический смысл дифференциала: , т.е. дифференциал равен расстоянию, которое прошла бы материальная точка за промежуток времени , если бы она двигалась со скоростью .