Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть имеет производную во всех точках интервала

Пусть имеет производную во всех точках интервала . Если функция имеет производную в точке , то её называют второй производной или производной II порядка функции . Обозначается или . И т.д.

.

Физический смысл . Пусть материальная отточка движется по закону . Тогда скорость . Отношение – это ускорение точки на промежутке времени . Предел этого ускорения равен – это ускорение в момент .

Если функция задана параметрически: , то

.

Итак, . Аналогично получается .

Пример Найти и , если , .

Решение. . Тогда .

.

Рассмотрим пример неявно заданной функции.

Пример Найти и , если .

Решение. Продифференцируем обе части данного равенства по x, учитывая, что есть функция от x, получим:

.

Выразив отсюда , получим .

Продифференцируем обе части последнего равенства по x, учитывая, что есть функция от x, получим:

.

Теорема (формула Лейбница) Если U и V имеют в точке x производные n-го порядка, то тоже имеет производную n-го порядка, причём , где

, . То есть

.

Дифференциалы высших порядков:

.