Окрестность точки

Методы вычисления пределов

Методические указания

к решению задач

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

УДК 517

Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 32 с.

Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Предел функции».

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008

Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Предел функции». Как правило, освоение этого раздела математического анализа вызывает затруднения у студентов. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «предел функции» и основных правил предельного перехода, причем все определения предела сопровождаются геометрической иллюстрацией. Во второй части указаний рассматриваются методы вычисления некоторых типов пределов.

Данные методические указания, хотя и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Предел функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1].

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Окрестность точки

Пусть – действительное число. Обозначение: .

Определение. Окрестностью точки радиуса ( -окрестностью)

Если точка попадает в -окрестность точки , т. е. , то выполнено неравенство или . Последнее двойное неравенство равносильно неравенству , геометрический смысл которого состоит в том, что расстояние между точками и меньше чем (рис. 1.1).

Окрестность без точки называется проколотой окрестностью. Она задается неравенством , причем .

В дальнейшем рассматривается поведение функций не только в окрестности точки , но и на бесконечности. Символы , используются для обозначения процесса неограниченного удаления точек числовой оси от нуля вправо и влево соответственно. Иногда символ бесконечности употребляют без уточнения знака.

Определение.Окрестностью называется бесконечный интервал , а окрестностью – интервал , где .

Если точка принадлежит окрестности , то выполнено неравенство , если же точка попадает в окрестность , то для нее справедливо неравенство . Объединение лучей будем рассматривать как окрестность (об операциях над множествами см. в [1, с. 97]). Совокупность описывающих это множество неравенств можно заменить одним неравенством , означающим, что расстояние от точки до точки больше чем (рис. 1.2).