Элементарные функции

Рассмотрим поведение основных элементарных функций на примерах.

Постоянная функция и степенная функция непрерывны во всех точках числовой оси (см. 1.2), то есть

(1.1)

Пример 1.2. Найдите .

Решение. При степенная функция является бесконечно большой (см. 1.4),причем ее предел зависит не только от поведения аргумента , но и от четности или нечетности показателя степени , так как . Но при этом , .

Значит,

а (1.2)

Функция определена только при , если — четное число. В остальном ее свойства подобны свойствам функции .

Тригонометрические функции , непрерывны во всех точках .

Пример 1.3. Найдите , , .

Решение. Так как функция непрерывна при , то . Поэтому при функция является бесконечно малой (см. 1.4).

Из рис. 1.8 видно, что не существует, так как для любых, сколь угодно больших или сколь угодно малых значений аргумента данная функция принимает все значения из промежутка .

Аналогичные рассуждения применимы и для функции , поэтому не существует.

Пример 1.4. Найдите пределы: и .

Решение. Функция определена и непрерывна во всех точках вещественной оси кроме точек . Поэтому .

Функция определена и непрерывна во всех точках вещественной оси кроме точек . Значит, .

Пример 1.5. Найдите односторонние пределы: и .

Решение. Функция определена и непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точек . Из рис. 1.9 видно, что , а , поэтому в точках разрыва тангенс является бесконечно большой величиной.

Функция терпит разрывы в точках . На графике функции (рис. 1.9) видно, что и .

Пример. 1.6. Найдите .

Решение. Обратная тригонометрическая функция определена и непрерывна для всех . Все ее значения попадают в промежуток . На графике функции (рис. 1.10) видно, что , .

Построив график функции можно самостоятельно убедиться в том, что , .

Показательная функция определена и непрерывна во всех точках вещественной оси (рис. 1.11).

В зависимости от того, какие значения принимает основание , показательная функция ведет себя на бесконечности по-разному. Если , то и . Если , то и .

Пример 1.7. Найдите и .

Решение. Так как основание показательной функции равно 3, а 3 > 1, то . Напротив, так как , то .

Логарифмическая функция непрерывна во всех точках . Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, представлены на рис 1.12.